Номер 21.8, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.8. a) В трапеции $ABCD$ основание $BC = 10$ см, а основание $AD = 30$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, причем $OC = 6$ см. Найдите длину $AC$.

б) В трапеции $ABCD$ основание $BC = 15$ см, а основание $AD = 30$ см. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, причем $OD = 12$ см. Найдите длину $BD$.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей: $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Эти треугольники подобны по двум углам:

1. 1. $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные углы.
2. 2. $\angle BCO = \angle DAO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{OC}{OA} = \frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи даны: $BC = 10$ см, $AD = 30$ см, $OC = 6$ см. Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти длину отрезка $OA$:

$$ \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} \implies \frac{6}{OA} = \frac{10}{30} $$

Упростим дробь в правой части уравнения:

$$ \frac{6}{OA} = \frac{1}{3} $$

Из этой пропорции находим $OA$:

$$ OA = 6 \cdot 3 = 18 \text{ см} $$

Длина диагонали $AC$ равна сумме длин ее отрезков $OA$ и $OC$:

$$ AC = OA + OC = 18 \text{ см} + 6 \text{ см} = 24 \text{ см} $$

Ответ: 24 см.

Решение этой задачи аналогично предыдущей. В трапеции $ABCD$ треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны. Доказательство подобия основано на том, что $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные) и $\angle CBD = \angle BDA$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия следует соотношение:

$$ \frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} $$

По условию задачи даны: $BC = 15$ см, $AD = 30$ см, $OD = 12$ см. Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти длину отрезка $BO$:

$$ \frac{BO}{12} = \frac{15}{30} $$

Упростим дробь в правой части:

$$ \frac{BO}{12} = \frac{1}{2} $$

Отсюда находим $BO$:

$$ BO = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} $$

Длина диагонали $BD$ равна сумме длин ее отрезков $BO$ и $OD$:

$$ BD = BO + OD = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18 \text{ см} $$

Ответ: 18 см.