Номер 21.3, страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

21.3. Пользуясь данными рисунков 167, а), б) и учитывая, что $a \parallel b \parallel c$, найдите значение суммы $x + y + z + p$.

a) Значения: 15, x, 3, z, 28, y, 12, p, 9. Линии: a, b, c, d, e.

б) Значения: 12, p, 15, 7, 3, x, y, 18, z. Линии: a, b, c, d, e.

Рис. 167

Задача состоит из двух независимых частей, для каждой из которых нужно найти сумму x + y + z + p. Мы решим каждую часть отдельно.

Рассмотрим рисунок а). Нам даны три параллельные прямые a, b, c (a || b || c) и две пересекающиеся секущие d и e. Точка их пересечения O лежит между прямыми a и b.

1. Нахождение x и y.

Прямые a и b параллельны, а прямые d и e являются секущими. Это создает два подобных треугольника с общей вершиной O (подобные по типу "песочные часы"). Обозначим точки пересечения секущих с прямыми a и b как A_d, A_e, B_d, B_e. Тогда треугольник $ \triangle OA_dA_e $ подобен треугольнику $ \triangle OB_dB_e $. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{OA_e}{OB_e} = \frac{OA_d}{OB_d} = \frac{A_dA_e}{B_dB_e} $

Подставим значения из рисунка:

$ OA_e = 15 $, $ OB_e = x $

$ OA_d = y $, $ OB_d = 12 $

$ A_dA_e = 28 $, $ B_dB_e = 9 $

Получаем пропорцию:

$ \frac{15}{x} = \frac{y}{12} = \frac{28}{9} $

Из этой пропорции найдем x и y:

$ \frac{15}{x} = \frac{28}{9} \implies x = \frac{15 \cdot 9}{28} = \frac{135}{28} $

$ \frac{y}{12} = \frac{28}{9} \implies y = \frac{12 \cdot 28}{9} = \frac{4 \cdot 28}{3} = \frac{112}{3} $

2. Нахождение z и p.

Прямые b и c параллельны. Точка O не лежит между ними. Это создает два вложенных подобных треугольника: $ \triangle OB_dB_e $ подобен $ \triangle OC_dC_e $. Из подобия следует:

$ \frac{OB_e}{OC_e} = \frac{OB_d}{OC_d} = \frac{B_dB_e}{C_dC_e} $

Подставим известные длины отрезков:

$ OB_e = x $

$ OC_e $ на рисунке обозначен как z. Также видно, что $ OC_e = OB_e + B_eC_e = x + 3 $. Таким образом, $ z = x + 3 $.

$ OB_d = 12 $

$ OC_d = OB_d + B_dC_d = 12 + p $.

Получаем пропорцию:

$ \frac{x}{z} = \frac{12}{12+p} \implies \frac{x}{x+3} = \frac{12}{12+p} $

Подставим найденное значение $ x = \frac{135}{28} $:

$ \frac{\frac{135}{28}}{\frac{135}{28} + 3} = \frac{12}{12+p} $

$ \frac{\frac{135}{28}}{\frac{135+84}{28}} = \frac{\frac{135}{28}}{\frac{219}{28}} = \frac{135}{219} $

Дробь $ \frac{135}{219} $ можно сократить на 3: $ \frac{135 \div 3}{219 \div 3} = \frac{45}{73} $.

Теперь решаем уравнение:

$ \frac{45}{73} = \frac{12}{12+p} $

Применим основное свойство пропорции:

$ 45(12+p) = 73 \cdot 12 $

Разделим обе части на 3:

$ 15(12+p) = 73 \cdot 4 $

$ 180 + 15p = 292 $

$ 15p = 292 - 180 = 112 \implies p = \frac{112}{15} $

Теперь найдем z:

$ z = x + 3 = \frac{135}{28} + 3 = \frac{135 + 84}{28} = \frac{219}{28} $

3. Вычисление суммы x + y + z + p.

$ S = x + y + z + p = \frac{135}{28} + \frac{112}{3} + \frac{219}{28} + \frac{112}{15} $

Сгруппируем слагаемые:

$ S = \left(\frac{135}{28} + \frac{219}{28}\right) + \left(\frac{112}{3} + \frac{112}{15}\right) $

$ S = \frac{354}{28} + 112\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{15}\right) $

$ S = \frac{177}{14} + 112\left(\frac{5+1}{15}\right) = \frac{177}{14} + 112\left(\frac{6}{15}\right) = \frac{177}{14} + 112\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{177}{14} + \frac{224}{5} $

Приведем к общему знаменателю 70:

$ S = \frac{177 \cdot 5}{70} + \frac{224 \cdot 14}{70} = \frac{885}{70} + \frac{3136}{70} = \frac{885 + 3136}{70} = \frac{4021}{70} $

Ответ: $ \frac{4021}{70} $

Рассмотрим рисунок б). Он состоит из двух частей.

1. Нахождение y из левой части рисунка.

Здесь дана классическая конфигурация для обобщенной теоремы Фалеса. Параллельные прямые a, b, c пересечены двумя секущими d и e. Теорема утверждает, что отношения отрезков, высекаемых на одной секущей, равны отношениям соответствующих отрезков на другой секущей.

$ \frac{\text{отрезок на } e \text{ между } a \text{ и } b}{\text{отрезок на } e \text{ между } b \text{ и } c} = \frac{\text{отрезок на } d \text{ между } a \text{ и } b}{\text{отрезок на } d \text{ между } b \text{ и } c} $

Подставляем значения:

$ \frac{12}{15} = \frac{y}{18} $

Сократим дробь слева: $ \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.

$ \frac{4}{5} = \frac{y}{18} \implies y = \frac{4 \cdot 18}{5} = \frac{72}{5} = 14.4 $

2. Нахождение x, p, z из правой части рисунка.

Правая часть рисунка изображает более сложную конфигурацию, и ее интерпретация неоднозначна. Однако, наиболее вероятная интерпретация, соответствующая задачам такого типа, следующая:

- Переменная x представляет собой длину отрезка секущей, который разделен на части длиной 7 и 3. Таким образом:

$ x = 7 + 3 = 10 $

- Для нахождения p и z в задачах такого уровня часто предполагается наличие опечатки в рисунке или применение теоремы, которая строго не следует из базового курса, но является верной для данной конфигурации. Схема с пересекающимися секущими (обозначим их f и g), одна из которых (f) разделена на отрезки 7 и 3, а также отрезками p и z на параллельных прямых b и c, приводит к подобию треугольников, из которого следует соотношение $ p/z = 7/3 $. Однако, для однозначного нахождения p и z данных в задаче недостаточно. Задача в таком виде не имеет единственного решения для p и z.

Вероятно, в условии задачи имеется опечатка или пропущена дополнительная информация. Если предположить, что в задачнике был дан целочисленный ответ (например, 64), то это позволило бы найти p и z, но без этого предположения задача нерешаема.

Таким образом, на основе предоставленной информации, мы можем найти только x и y. Значения p и z, а следовательно и сумма x + y + z + p, не могут быть однозначно определены.

Ответ: Найти значение суммы для этого случая невозможно из-за неполноты данных в условии.