Номер 20.6, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

20.6. a) В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $P$ и на стороне $BC$ взята точка $L$ так, что $AP = 6$ см, $PB = 4$ см, $PL = 12$ см и $\triangle PBL \sim \triangle ABC$. Найдите длину $AC$.

б) В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $M$ и на стороне $BC$ взята точка $N$ так, что $AM = 3$ см, $MC = 21$ см, $MN = 14$ см и $\triangle MNC \sim \triangle ABC$. Найдите длину $AB$.

а)

По условию задачи дано, что треугольники $PBL$ и $ABC$ подобны ($\triangle PBL \sim \triangle ABC$). Из определения подобных треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Коэффициент подобия $k$ будет одинаков для всех пар соответствующих сторон.

Соответствующими сторонами в данном случае являются $PB$ и $AB$, $BL$ и $BC$, а также $PL$ и $AC$. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{PB}{AB} = \frac{BL}{BC} = \frac{PL}{AC} = k$

Для нахождения длины $AC$ нам нужно использовать отношение $\frac{PL}{AC} = \frac{PB}{AB}$.

Сначала найдем длину стороны $AB$. Точка $P$ делит сторону $AB$ на два отрезка: $AP$ и $PB$. Следовательно, длина всей стороны $AB$ равна их сумме.

Из условия нам известны длины этих отрезков: $AP = 6$ см, $PB = 4$ см.

$AB = AP + PB = 6 + 4 = 10$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для составления пропорции:

$\frac{PB}{AB} = \frac{PL}{AC}$

Подставим известные значения: $PB = 4$ см, $AB = 10$ см, $PL = 12$ см.

$\frac{4}{10} = \frac{12}{AC}$

Теперь решим это уравнение относительно $AC$:

$4 \cdot AC = 12 \cdot 10$

$4 \cdot AC = 120$

$AC = \frac{120}{4}$

$AC = 30$ см.

Ответ: 30 см.

б)

По условию задачи, треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MNC \sim \triangle ABC$). Это означает, что их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны с одним и тем же коэффициентом подобия $k$.

Порядок вершин в записи о подобии указывает на соответствие сторон: $MC$ соответствует $AC$, $NC$ соответствует $BC$, и $MN$ соответствует $AB$.

Таким образом, можно записать следующее соотношение:

$\frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC} = \frac{MN}{AB} = k$

Для нахождения длины стороны $AB$ мы будем использовать пропорцию $\frac{MC}{AC} = \frac{MN}{AB}$.

Сначала определим длину стороны $AC$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MC$.

Из условия нам известны длины: $AM = 3$ см, $MC = 21$ см.

$AC = AM + MC = 3 + 21 = 24$ см.

Теперь составим пропорцию, подставив в нее известные значения: $MC = 21$ см, $AC = 24$ см, $MN = 14$ см.

$\frac{21}{24} = \frac{14}{AB}$

Выразим $AB$ из этой пропорции:

$21 \cdot AB = 14 \cdot 24$

$AB = \frac{14 \cdot 24}{21}$

Сократим дробь. Можно сократить 14 и 21 на 7, а 24 и 3 (оставшееся от 21) на 3:

$AB = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 24}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 24}{3} = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ: 16 см.