Номер 19.9, страница 102 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.9. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $AM = MB$, а на стороне $BC$ взята точка $N$ так, что $BN : NC = 7 : 3$. Найдите отношение $CO : OM$, где $O$ — точка пересечения прямых $CM$ и $AN$.

Для решения данной задачи применим теорему Менелая. Эта теорема устанавливает соотношение между отрезками, на которые прямая рассекает стороны треугольника (или их продолжения).

Шаг 1: Выбор треугольника и секущей для применения теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник $CMB$ и прямую $AON$ как секущую. Прямая $AON$ пересекает:

• сторону $CM$ в точке $O$;
• сторону $CB$ в точке $N$;
• продолжение стороны $MB$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $CMB$ и секущей $AON$, справедливо следующее равенство:

$$ \frac{CN}{NB} \cdot \frac{BA}{AM} \cdot \frac{MO}{OC} = 1 $$

Шаг 2: Нахождение значений отношений из условия задачи

Теперь определим значения каждого из отношений в формуле, исходя из данных в условии задачи.

1. По условию, $BN : NC = 7 : 3$. Это означает, что $\frac{BN}{NC} = \frac{7}{3}$. Для нашей формулы требуется обратное отношение: $\frac{CN}{NB} = \frac{3}{7}$.

2. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$, так как $AM = MB$. Следовательно, длина всей стороны $AB$ вдвое больше длины отрезка $AM$: $AB = AM + MB = AM + AM = 2 \cdot AM$. Тогда отношение длин отрезков $BA$ и $AM$ равно: $\frac{BA}{AM} = \frac{2 \cdot AM}{AM} = 2$.

Шаг 3: Подстановка значений и вычисление искомого отношения

Подставим найденные значения отношений в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{3}{7} \cdot 2 \cdot \frac{MO}{OC} = 1 $$

Выполним умножение в левой части уравнения:

$$ \frac{6}{7} \cdot \frac{MO}{OC} = 1 $$

Теперь выразим из этого равенства отношение $\frac{MO}{OC}$:

$$ \frac{MO}{OC} = 1 \div \frac{6}{7} = \frac{7}{6} $$

В задаче требуется найти отношение $CO : OM$, которое соответствует дроби $\frac{CO}{OM}$. Это отношение является обратным к найденному нами $\frac{MO}{OC}$:

$$ \frac{CO}{OM} = \frac{1}{\frac{MO}{OC}} = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{6}{7} $$

Таким образом, искомое отношение $CO : OM$ равно $6 : 7$.

Ответ: $6:7$