Номер 19.3, страница 100 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.3. а) На рисунке 156 $CD \parallel BE$, $MB = 20$ см, $MC = 12$ см, $MD = 18$ см. Найдите длину отрезка $DE$.

б) На рисунке 157 $CB \parallel KE$, $AB = 6$ см, $AE = 42$ см, $AC = 4$ см. Найдите длину отрезка $AK$.

Рис. 156

Рис. 157

а)

Рассмотрим две пересекающиеся прямые, образующие угол с вершиной в точке $M$. Эти прямые пересекаются двумя параллельными прямыми $CD$ и $BE$ ($CD \parallel BE$).

Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Это также следует из подобия треугольников $\triangle MCD$ и $\triangle MBE$. Треугольники подобны по двум углам: $\angle CMD = \angle BME$ (как вертикальные углы) и $\angle MDC = \angle MEB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $CD$ и $BE$ и секущей $DE$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $\frac{MC}{MB} = \frac{MD}{ME}$. Также верно и соотношение для отрезков, на которые секущие делятся параллельными прямыми: $\frac{MC}{CB} = \frac{MD}{DE}$.

Найдем длину отрезка $CB$. Так как точка $C$ лежит между $M$ и $B$, то:

$CB = MB - MC = 20 - 12 = 8$ см.

Теперь воспользуемся пропорцией $\frac{MC}{CB} = \frac{MD}{DE}$ и подставим в нее известные значения:

$\frac{12}{8} = \frac{18}{DE}$

Выразим и вычислим длину отрезка $DE$:

$DE = \frac{8 \cdot 18}{12} = \frac{144}{12} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Рассмотрим угол $\angle KAE$, стороны которого пересекаются параллельными прямыми $CB$ и $KE$ ($CB \parallel KE$).

По обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Это утверждение является следствием подобия треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AKE$. Эти треугольники подобны по двум углам: угол $\angle A$ у них общий, а углы $\angle ABC$ и $\angle AEK$ равны как соответственные при параллельных прямых $CB$ и $KE$ и секущей $AE$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AC}{AK} = \frac{AB}{AE}$

Подставим известные из условия значения: $AC = 4$ см, $AB = 6$ см, $AE = 42$ см.

$\frac{4}{AK} = \frac{6}{42}$

Выразим из этой пропорции искомую длину отрезка $AK$:

$AK = \frac{4 \cdot 42}{6} = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ: 28 см.