Номер 18.12, страница 99 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.12. а) Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 9 см. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне треугольника.

б) Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, равна 8 см. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне треугольника.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть $BH$ — биссектриса, проведенная к основанию. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

По условию, основание $AC = 8$ см, а биссектриса (она же высота) $BH = 9$ см.

Так как $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $AHB = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97$
$AB = \sqrt{97}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Используя основание $AC$ и высоту $BH$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 = 36$ см$^2$.

Теперь найдем высоту, проведенную к боковой стороне. Обозначим ее $h_{b}$. Площадь треугольника также можно выразить через боковую сторону $AB$ и высоту $h_{b}$, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{b}$

Приравняем два выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{b} = 36$
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{97} \cdot h_{b} = 36$
$h_{b} = \frac{36 \cdot 2}{\sqrt{97}} = \frac{72}{\sqrt{97}}$ см.

Ответ: $\frac{72}{\sqrt{97}}$ см.

б)

Действуем аналогично пункту а). Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a = 10$ см и биссектрисой к основанию (которая является высотой) $h_a = 8$ см.

Высота, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка: $\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Найдем длину боковой стороны $b$ по теореме Пифагора:
$b^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$
$b^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$
$b = \sqrt{89}$ см.

Найдем площадь треугольника, используя основание $a$ и высоту $h_a$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$ см$^2$.

Теперь выразим площадь через боковую сторону $b$ и искомую высоту $h_b$:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Приравняем выражения для площади и найдем $h_b$:
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{89} \cdot h_b = 40$
$h_b = \frac{40 \cdot 2}{\sqrt{89}} = \frac{80}{\sqrt{89}}$ см.

Ответ: $\frac{80}{\sqrt{89}}$ см.