Номер 18.5, страница 97 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.5. a) В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что одна вершина прямоугольника лежит на гипотенузе и один угол у фигур общий. Найдите периметр прямоугольника, если площадь треугольника равна $18 \text{ см}^2$.

б) В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что одна вершина прямоугольника лежит на гипотенузе и один угол у фигур общий. Найдите площадь треугольника, если периметр прямоугольника равен $32 \text{ см}$.

а) Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его катеты равны, обозначим их длину как $a$, то есть $AC = BC = a$. Площадь такого треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a^2$. По условию, площадь треугольника равна 18 см², следовательно, мы можем найти длину катета $a$:

$\frac{1}{2} a^2 = 18$

$a^2 = 36$

$a = 6$ см.

В треугольник вписан прямоугольник $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, вершина $D$ лежит на катете $AC$, вершина $F$ — на катете $BC$, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$. Обозначим стороны прямоугольника $CF = x$ и $CD = y$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $CDEF$ — прямоугольник, то сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, а значит и всему катету $BC$. Поскольку $AC \perp BC$, то $DE \perp AC$. Следовательно, $\triangle ADE$ — прямоугольный с прямым углом $D$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ углы при гипотенузе равны $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ADE$ один из острых углов ($\angle A$) равен $45^\circ$, значит, он также является равнобедренным. Отсюда следует, что его катеты равны: $AD = DE$.

Длина отрезка $AD$ равна разности длин катета $AC$ и стороны прямоугольника $CD$: $AD = AC - CD = a - y$.

Длина стороны $DE$ прямоугольника равна длине противолежащей стороны $CF$: $DE = CF = x$.

Из равенства $AD = DE$ получаем: $a - y = x$, откуда $x + y = a$.

Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(x+y)$. Подставив найденное значение $a=6$ см, получим:

$P = 2a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б) Воспользуемся теми же обозначениями, что и в предыдущем пункте. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с катетом $a$ и вписанный в него прямоугольник $CDEF$ со сторонами $x$ и $y$, имеющий с треугольником общий прямой угол.

По условию, периметр прямоугольника $P$ равен 32 см. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$.

$2(x+y) = 32$

$x+y = 16$ см.

Как было установлено в решении пункта а), сумма сторон прямоугольника, выходящих из общего с треугольником прямого угла, равна длине катета треугольника: $x+y=a$.

Следовательно, катет треугольника $a = 16$ см.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника $S$ с катетом $a$ равна $S = \frac{1}{2} a^2$.

Подставим значение $a=16$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot 16^2 = \frac{1}{2} \cdot 256 = 128$ см².

Ответ: 128 см².