Номер 18.10, страница 98 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.10. a) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, угол при основании равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника.

б) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, угол при основании равен $30^\circ$. Найдите площадь треугольника.

а)

Для нахождения площади равнобедренного треугольника можно использовать формулу площади через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

В условии дано, что треугольник равнобедренный, и его боковая сторона равна 12 см. Это означает, что две стороны треугольника равны 12 см. Обозначим их как $a$ и $b$, тогда $a = b = 12$ см. Угол при основании равен $30^\circ$. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то у нас есть два угла по $30^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол $\gamma$, который находится между двумя равными боковыми сторонами (угол при вершине):

$\gamma = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника, подставив известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ)$

Значение синуса $120^\circ$ равно значению синуса $60^\circ$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в нашу формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. У нас есть равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 10 см, и углом при основании $30^\circ$.

Пусть боковые стороны $a = b = 10$ см. Угол при вершине $\gamma$, расположенный между этими сторонами, вычисляется так же:

$\gamma = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Используем ту же формулу для площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Подставляем значения для этого случая:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ)$

Зная, что $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, вычисляем площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $25\sqrt{3}$ см$^2$.