Номер 18.6, страница 97 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.6. a) Найдите площадь треугольника, периметр которого равен 24 см, а стороны равны $ (a + 1) $ см, $ (a + 3) $ см и $ 2a $ см.

б) Найдите площадь треугольника, периметр которого равен 40 см, а стороны равны $ (a + 1) $ см, $ (2a + 1) $ см и $ (2a + 3) $ см.

а)

1. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 24 см, а стороны равны $(a + 1)$ см, $(a + 3)$ см и $2a$ см. Составим и решим уравнение, чтобы найти значение a:

$(a + 1) + (a + 3) + 2a = 24$

$4a + 4 = 24$

$4a = 24 - 4$

$4a = 20$

$a = 5$

2. Теперь, зная значение a, найдем длины сторон треугольника:

Первая сторона: $a + 1 = 5 + 1 = 6$ см.

Вторая сторона: $a + 3 = 5 + 3 = 8$ см.

Третья сторона: $2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Итак, мы имеем треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см.

3. Для нахождения площади треугольника, зная все его стороны, воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}$, где $p$ — полупериметр, а $x, y, z$ — длины сторон.

Полупериметр $p$ равен половине периметра: $p = \frac{24}{2} = 12$ см.

Подставим значения в формулу:

$S = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24$ см².

Примечание: можно заметить, что для сторон выполняется теорема Пифагора $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$, значит, треугольник прямоугольный. Его площадь можно найти как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Ответ: 24 см².

б)

1. Аналогично пункту а), составим уравнение для нахождения a, зная, что периметр равен 40 см, а стороны равны $(a + 1)$ см, $(2a + 1)$ см и $(2a + 3)$ см.

$(a + 1) + (2a + 1) + (2a + 3) = 40$

$5a + 5 = 40$

$5a = 40 - 5$

$5a = 35$

$a = 7$

2. Найдем длины сторон треугольника, подставив значение $a = 7$:

Первая сторона: $a + 1 = 7 + 1 = 8$ см.

Вторая сторона: $2a + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 14 + 1 = 15$ см.

Третья сторона: $2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$ см.

Итак, мы имеем треугольник со сторонами 8 см, 15 см и 17 см.

3. Вычислим площадь по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{40}{2} = 20$ см.

$S = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}$

Подставим значения:

$S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60$ см².

Примечание: здесь также выполняется теорема Пифагора $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$, значит, треугольник прямоугольный. Его площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см².

Ответ: 60 см².