Номер 18.4, страница 97 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.4. a) Диагональ прямоугольника равна 12 см, угол между диагональю и стороной прямоугольника равен $30^\circ$. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

б) Диагональ прямоугольника равна 18 см, угол между диагональю и стороной прямоугольника равен $60^\circ$. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а диагональ равна d. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны a и b являются катетами, а диагональ d — гипотенузой.

По условию задачи, диагональ $d = 12$ см, а угол между диагональю и одной из сторон (пусть это будет сторона a) равен $30^\circ$. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.

Сторона a, являющаяся катетом, прилежащим к углу $30^\circ$, равна:
$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Сторона b, являющаяся катетом, противолежащим углу $30^\circ$, равна:
$b = d \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Теперь, зная длины сторон, можем найти периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника.

Периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2(6\sqrt{3} + 6) = 12\sqrt{3} + 12$ см.

Площадь вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:
$S = 6\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: периметр равен $12 + 12\sqrt{3}$ см, площадь равна $36\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами прямоугольника a, b и диагональю d.

По условию, диагональ $d = 18$ см, а угол между диагональю и стороной (пусть это будет сторона a) равен $60^\circ$.

Найдем длины сторон прямоугольника.

Сторона a, прилежащая к углу $60^\circ$:
$a = d \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Сторона b, противолежащая углу $60^\circ$:
$b = d \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

Вычислим периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника.

Периметр $P = 2(a+b)$:
$P = 2(9 + 9\sqrt{3}) = 18 + 18\sqrt{3}$ см.

Площадь $S = a \cdot b$:
$S = 9 \cdot 9\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: периметр равен $18 + 18\sqrt{3}$ см, площадь равна $81\sqrt{3}$ см$^2$.