Номер 17.9, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.9. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 18 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$, высотой $h$ и средней линией $m$. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований:$m = \frac{a+b}{2}$. Таким образом, формулу площади можно записать как:$S = m \cdot h$. По условию задачи, средняя линия $m = 18$ см. Для нахождения площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

Рассмотрим свойства данной трапеции. Поскольку трапеция равнобедренная, ее диагонали равны, а треугольники, образованные пересечением диагоналей и прилегающие к основаниям, являются равнобедренными. То есть, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные.

Так как диагонали по условию перпендикулярны, то $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются не просто равнобедренными, а равнобедренными прямоугольными треугольниками, где основания трапеции $a$ и $b$ являются их гипотенузами.

Проведем высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle AOD$, проведенной из вершины $O$ к основанию $AD$, и высоты $h_2$ треугольника $\triangle BOC$, проведенной из вершины $O$ к основанию $BC$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине длины гипотенузы.

Для треугольника $\triangle AOD$ гипотенузой является основание $AD=a$. Значит, его высота $h_1 = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Для треугольника $\triangle BOC$ гипотенузой является основание $BC=b$. Значит, его высота $h_2 = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Полная высота трапеции равна сумме высот этих треугольников:$h = h_1 + h_2 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, мы установили, что для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна ее средней линии: $h=m$.

Поскольку средняя линия $m=18$ см, то и высота $h=18$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = m \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 18 \text{ см} = 324 \text{ см}^2$.

Ответ: 324 см².