Номер 17.12, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.12. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 14 см и 15 см, а диагонали — 20 см и 21 см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $a = BC = 14$ см и $b = AD = 15$ см. Диагонали трапеции равны $d_1 = AC = 20$ см и $d_2 = BD = 21$ см.

1. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть она пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. В результате получаем четырехугольник $BCED$.

2. Так как $BC \parallel AE$ (по определению трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению), то четырехугольник $BCED$ является параллелограммом. Из этого следует, что $DE = BC = 14$ см, и $CE = BD = 21$ см.

3. Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны равны:

• $AC = 20$ см (по условию).
• $CE = BD = 21$ см (из построения).
• $AE = AD + DE = 15 + 14 = 29$ см.

4. Площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Это можно доказать следующим образом:
Площадь трапеции $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$.
Площадь треугольника $S_{ACE} = S_{\triangle CDE} + S_{\triangle ACD}$.
Площадь треугольника $\triangle ABC$ равна $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Площадь треугольника $\triangle CDE$ равна $S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$.
Поскольку $BC = DE$, то $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDE}$. Следовательно, $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

5. Теперь найдем площадь треугольника $ACE$ со сторонами 20 см, 21 см и 29 см. Для этого можно использовать формулу Герона, но сначала проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора.

Проверим, выполняется ли равенство $AC^2 + CE^2 = AE^2$:
$20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$
$29^2 = 841$
Так как $841 = 841$, треугольник $ACE$ является прямоугольным, а его катеты — это стороны $AC$ и $CE$.

6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 10 \cdot 21 = 210$ см².

Так как площадь трапеции равна площади этого треугольника, то площадь трапеции составляет 210 см².

Ответ: 210 см².