Номер 17.10, страница 95 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.10. а) Площадь равнобедренной трапеции равна $12\sqrt{3}$ см$^2$, длина одного основания в 2 раза больше длины другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции.

б) Периметр равнобедренной трапеции равен 30 см, длина одного основания в 2 раза меньше длины другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции.

а) Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB и CD — боковые стороны.
Обозначим длину меньшего основания $BC = b$, тогда длина большего основания $AD = a = 2b$.
Так как трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$.
По условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Это значит, что $\angle DAC = \angle CAB$.
Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при секущей AC, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle DAC$.
Из двух равенств получаем, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, и его стороны равны: $AB = BC$.
Таким образом, боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $c = b$.
Введем переменную: пусть $b = x$. Тогда $a = 2x$ и $c = x$.
Для вычисления площади нам необходима высота трапеции $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины B к основанию AD. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от вершины острого угла на большем основании, вычисляется как полуразность оснований: $AH = \frac{a-b}{2} = \frac{2x-x}{2} = \frac{x}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = c^2 - (\frac{x}{2})^2 = x^2 - \frac{x^2}{4} = \frac{4x^2 - x^2}{4} = \frac{3x^2}{4}$.
Следовательно, $h = \sqrt{\frac{3x^2}{4}} = \frac{x\sqrt{3}}{2}$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Подставим в нее полученные выражения: $S = \frac{2x+x}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{3x^2\sqrt{3}}{4}$.
По условию задачи площадь равна $12\sqrt{3}$ см². Приравняем это значение к полученной формуле: $\frac{3x^2\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$.
Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$: $\frac{x^2}{4} = 4$.
$x^2 = 16$, откуда $x=4$ (так как длина стороны — положительная величина).
Теперь найдем длины сторон трапеции: Меньшее основание $b = x = 4$ см. Большее основание $a = 2x = 8$ см. Боковые стороны $c = x = 4$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = a + b + 2c = 8 + 4 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20$ см.
Ответ: 20 см.

б) Условия данной задачи во многом повторяют условия из пункта а). У нас есть равнобедренная трапеция, где одно основание в 2 раза меньше другого ($a = 2b$) и диагональ является биссектрисой острого угла.
Как было доказано в пункте а), из этих условий следует, что боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $c = b$.
Введем переменную: пусть $b = x$. Тогда $a = 2x$ и $c = x$.
Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + c + c = 2x + x + x + x = 5x$.
По условию, периметр равен 30 см. Составим уравнение: $5x = 30$.
Отсюда $x = \frac{30}{5} = 6$ см.
Найдем длины сторон трапеции: Меньшее основание $b = x = 6$ см. Большее основание $a = 2x = 12$ см. Боковые стороны $c = x = 6$ см.
Для нахождения площади необходимо вычислить высоту $h$. Как и в предыдущей задаче, проведем высоту и найдем катет $AH$ в прямоугольном треугольнике ABH: $AH = \frac{a-b}{2} = \frac{12-6}{2} = 3$ см.
По теореме Пифагора найдем высоту $h$: $h^2 = c^2 - AH^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$.
$h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$: $S = \frac{12+6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{18}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².
Ответ: $27\sqrt{3}$ см².