Номер 17.4, страница 94 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

17.4. а) Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 19 см и 9 см, а боковая сторона равна 13 см.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание равно 12 см, боковая сторона равна 17 см, а высота — 15 см.

а)

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию дано:
большее основание $a = 19$ см
меньшее основание $b = 9$ см
боковая сторона $c = 13$ см

Чтобы найти площадь, сначала необходимо вычислить высоту $h$. В равнобедренной трапеции, если опустить две высоты из вершин меньшего основания на большее, они отсекут на большем основании два равных отрезка по краям. Длину каждого такого отрезка ($x$) можно найти по формуле:

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{19 - 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком $x$ (второй катет). По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + x^2$

Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, зная высоту, можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{19+9}{2} \cdot 12 = \frac{28}{2} \cdot 12 = 14 \cdot 12 = 168$ см².

Ответ: 168 см².

б)

Используем ту же формулу для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h$.

По условию дано:
меньшее основание $b = 12$ см
боковая сторона $c = 17$ см
высота $h = 15$ см

Для вычисления площади необходимо найти длину большего основания $a$. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $x$, который высота отсекает на большем основании.

По теореме Пифагора найдем длину отрезка $x$:

$x = \sqrt{c^2 - h^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см.

Большее основание $a$ равно сумме длин меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$:

$a = b + 2x = 12 + 2 \cdot 8 = 12 + 16 = 28$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{28+12}{2} \cdot 15 = \frac{40}{2} \cdot 15 = 20 \cdot 15 = 300$ см².

Ответ: 300 см².