Номер 16.21, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.21. a) В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан квадрат так, что на гипотенузе лежат две его вершины и на каждом катете лежит по одной вершине квадрата. Найдите площадь треугольника, если площадь квадрата равна $144 \text{ см}^2$.

b) В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан квадрат так, что на гипотенузе лежат две его вершины и на каждом катете лежит по одной вершине квадрата. Найдите площадь треугольника, если площадь квадрата равна $196 \text{ см}^2$.

Обозначим сторону вписанного квадрата как $s$. Тогда его площадь $S_{квадрата} = s^2$.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты $AC = BC$. Углы при гипотенузе $AB$ равны $45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $DEFG$ так, что его вершины $D$ и $E$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $F$ и $G$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Сторона квадрата $FG$ параллельна гипотенузе $AB$. Высота квадрата, проведенная из вершин $F$ и $G$ к гипотенузе, равна стороне квадрата $s$.

Рассмотрим треугольник $GCF$. Так как $FG$ параллельна $AB$, то треугольник $GCF$ подобен треугольнику $ACB$. Следовательно, $GCF$ также является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Проведем высоту $CH$ в треугольнике $ACB$ к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $h = CH = \frac{1}{2}AB$.

Высота квадрата равна $s$. Эта высота отсекает от высоты $CH$ верхнюю часть, которая является высотой в подобном треугольнике $GCF$. Длина этой высоты равна $h - s$.

Из подобия треугольников $GCF$ и $ACB$ следует отношение их высот к основаниям:

$\frac{\text{высота } GCF}{\text{высота } ACB} = \frac{\text{основание } GCF}{\text{основание } ACB}$

$\frac{h - s}{h} = \frac{FG}{AB}$

Так как $FG$ — это сторона квадрата, то $FG = s$. Подставим это в пропорцию:

$\frac{h - s}{h} = \frac{s}{AB}$

Мы знаем, что $h = \frac{AB}{2}$. Подставим это выражение для $h$:

$\frac{\frac{AB}{2} - s}{\frac{AB}{2}} = \frac{s}{AB}$

Упростим левую часть:

$1 - \frac{s}{\frac{AB}{2}} = \frac{s}{AB}$

$1 - \frac{2s}{AB} = \frac{s}{AB}$

$1 = \frac{s}{AB} + \frac{2s}{AB}$

$1 = \frac{3s}{AB}$

Отсюда находим связь между гипотенузой треугольника и стороной квадрата:

$AB = 3s$

Теперь найдем площадь треугольника $S_{треуг.}$. Площадь треугольника можно вычислить через гипотенузу и высоту к ней:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{AB}{2} = \frac{AB^2}{4}$

Подставим $AB = 3s$ в формулу площади треугольника:

$S_{треуг.} = \frac{(3s)^2}{4} = \frac{9s^2}{4}$

Поскольку $s^2$ — это площадь квадрата ($S_{квадрата}$), мы получаем общую формулу:

$S_{треуг.} = \frac{9}{4} S_{квадрата}$

Теперь решим задачи для каждого пункта.

а)

Площадь квадрата $S_{квадрата} = 144 \text{ см}^2$.

Найдем площадь треугольника по выведенной формуле:

$S_{треуг.} = \frac{9}{4} \cdot 144 = 9 \cdot \frac{144}{4} = 9 \cdot 36 = 324 \text{ см}^2$.

Ответ: $324 \text{ см}^2$.

б)

Площадь квадрата $S_{квадрата} = 196 \text{ см}^2$.

Найдем площадь треугольника по той же формуле:

$S_{треуг.} = \frac{9}{4} \cdot 196 = 9 \cdot \frac{196}{4} = 9 \cdot 49 = 441 \text{ см}^2$.

Ответ: $441 \text{ см}^2$.