Номер 16.23, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.23. В прямоугольный треугольник с острым углом $30^{\circ}$ вписан квадрат так, что на гипотенузе лежат две его вершины и на каждом катете лежит по одной вершине квадрата. Найдите площадь треугольника, если площадь квадрата равна $144 \text{ см}^2$.

Дано:

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($∠C=90°$).

Один из острых углов равен $30°$. Пусть $∠A = 30°$. Тогда другой острый угол $∠B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

В треугольник вписан квадрат $GDEF$ так, что его вершины $D$ и $E$ лежат на гипотенузе $AB$, вершина $G$ — на катете $AC$, а вершина $F$ — на катете $BC$.

Площадь квадрата $S_{кв} = 144 \text{ см}^2$.

Найти:

Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$).

Решение:

1. Найдем сторону квадрата. Сторона квадрата, обозначим ее $x$, равна квадратному корню из его площади: $x = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$. Следовательно, все стороны квадрата $GD$, $DE$, $EF$ и $FG$ равны 12 см.

2. По условию, вершины $G$ и $F$ лежат на катетах, а $D$ и $E$ на гипотенузе. Это означает, что стороны $GD$ и $FE$ перпендикулярны гипотенузе $AB$. Таким образом, у нас образуются два малых прямоугольных треугольника по краям квадрата: $\triangle ADG$ (прямой угол при $D$) и $\triangle EFB$ (прямой угол при $E$).

3. Найдем длины отрезков $AD$ и $EB$, на которые квадрат делит гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADG$ нам известны угол $∠A = 30°$ и противолежащий ему катет $GD = 12$ см. Найдем прилежащий катет $AD$ через тангенс: $\text{tg}(A) = \frac{GD}{AD}$ $\text{tg}(30°) = \frac{12}{AD}$ $AD = \frac{12}{\text{tg}(30°)} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle EFB$ нам известны угол $∠B = 60°$ и противолежащий ему катет $FE = 12$ см. Найдем прилежащий катет $EB$: $\text{tg}(B) = \frac{FE}{EB}$ $\text{tg}(60°) = \frac{12}{EB}$ $EB = \frac{12}{\text{tg}(60°)} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

4. Теперь мы можем найти полную длину гипотенузы $AB$. Она складывается из длин отрезков $AD$, $DE$ (сторона квадрата) и $EB$: $AB = AD + DE + EB = 12\sqrt{3} + 12 + 4\sqrt{3} = 12 + 16\sqrt{3} \text{ см}$.

5. Зная гипотенузу и углы треугольника $ABC$, найдем длины его катетов $AC$ и $BC$: $BC = AB \cdot \sin(A) = (12 + 16\sqrt{3}) \cdot \sin(30°) = (12 + 16\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = 6 + 8\sqrt{3} \text{ см}$. $AC = AB \cdot \cos(A) = (12 + 16\sqrt{3}) \cdot \cos(30°) = (12 + 16\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3} + 16\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3} + 16 \cdot 3}{2} = \frac{12\sqrt{3} + 48}{2} = 6\sqrt{3} + 24 \text{ см}$.

6. Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле половины произведения катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (24 + 6\sqrt{3}) \cdot (6 + 8\sqrt{3})$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (24 \cdot 6 + 24 \cdot 8\sqrt{3} + 6\sqrt{3} \cdot 6 + 6\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3})$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (144 + 192\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 48 \cdot 3)$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (144 + 192\sqrt{3} + 36\sqrt{3} + 144)$ $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (288 + 228\sqrt{3})$ $S_{ABC} = 144 + 114\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $144 + 114\sqrt{3} \text{ см}^2$.