Номер 16.22, страница 93 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.22. a) Площадь квадрата равна $(12-8\sqrt{2})$ см$^2$. Найдите сумму длин стороны и диагонали квадрата.

б) Площадь квадрата равна $(27+18\sqrt{2})$ см$^2$. Найдите разность длин диагонали и стороны квадрата.

а)

Площадь квадрата $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

По условию, площадь квадрата равна $(12 - 8\sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Следовательно, $a^2 = 12 - 8\sqrt{2}$.

Чтобы найти длину стороны $a$, необходимо извлечь квадратный корень из выражения. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$12 - 8\sqrt{2} = 12 - 2 \cdot 4\sqrt{2} = 12 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2}$.

Попробуем представить $12$ как сумму квадратов. Заметим, что $12 = 8 + 4 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2$. Тогда:

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 2 + 2^2 = (2\sqrt{2} - 2)^2$.

Длина стороны $a$ должна быть положительным числом. Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $2\sqrt{2} > 2$, и выражение $2\sqrt{2} - 2$ положительно.

Значит, сторона квадрата $a = 2\sqrt{2} - 2 \text{ см}$.

Диагональ квадрата $d$ связана со стороной $a$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.

Найдем длину диагонали:

$d = (2\sqrt{2} - 2)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2 \cdot 2 - 2\sqrt{2} = 4 - 2\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь найдем сумму длин стороны и диагонали:

$a + d = (2\sqrt{2} - 2) + (4 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 + 4 - 2\sqrt{2} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

б)

Площадь квадрата $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

По условию, площадь квадрата равна $(27 + 18\sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Следовательно, $a^2 = 27 + 18\sqrt{2}$.

Чтобы найти длину стороны $a$, представим выражение в виде полного квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$27 + 18\sqrt{2} = 27 + 2 \cdot 9\sqrt{2} = 27 + 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2}$.

Представим $27$ как сумму квадратов. Заметим, что $27 = 9 + 18 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2$. Тогда:

$a^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 = (3 + 3\sqrt{2})^2$.

Длина стороны $a$ должна быть положительным числом. Выражение $3 + 3\sqrt{2}$ положительно.

Значит, сторона квадрата $a = 3 + 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Диагональ квадрата $d$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Найдем длину диагонали:

$d = (3 + 3\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3 \cdot 2 = 6 + 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь найдем разность длин диагонали и стороны:

$d - a = (6 + 3\sqrt{2}) - (3 + 3\sqrt{2}) = 6 + 3\sqrt{2} - 3 - 3\sqrt{2} = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см.