Номер 16.18, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.18. а) Найдите длину высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, если катеты треугольника равны $(7 + \sqrt{15})$ см и $(7 - \sqrt{15})$ см.

б) Найдите длину высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, если катеты треугольника равны $(5 + \sqrt{11})$ см и $(5 - \sqrt{11})$ см.

а)

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а высоту, опущенную на гипотенузу, как $h$.
По условию, катеты равны $a = (7 + \sqrt{15})$ см и $b = (7 - \sqrt{15})$ см.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
1. Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.
2. Как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.
Приравняв эти два выражения для площади, получим $ab = ch$, откуда можно выразить высоту: $h = \frac{ab}{c}$.
Сначала найдем произведение катетов $ab$:
$ab = (7 + \sqrt{15})(7 - \sqrt{15})$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$ab = 7^2 - (\sqrt{15})^2 = 49 - 15 = 34$ см².
Теперь найдем квадрат гипотенузы $c^2$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$a^2 = (7 + \sqrt{15})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 49 + 14\sqrt{15} + 15 = 64 + 14\sqrt{15}$.
$b^2 = (7 - \sqrt{15})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 = 49 - 14\sqrt{15} + 15 = 64 - 14\sqrt{15}$.
$c^2 = (64 + 14\sqrt{15}) + (64 - 14\sqrt{15}) = 64 + 64 = 128$.
Тогда длина гипотенузы $c = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.
Теперь можем найти высоту $h$:
$h = \frac{ab}{c} = \frac{34}{8\sqrt{2}} = \frac{17}{4\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$h = \frac{17\sqrt{2}}{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{17\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{17\sqrt{2}}{8}$ см.

Ответ: $\frac{17\sqrt{2}}{8}$ см.

б)

Решение аналогично предыдущему пункту.
Дано: катеты $a = (5 + \sqrt{11})$ см и $b = (5 - \sqrt{11})$ см.
Используем ту же формулу для высоты: $h = \frac{ab}{c}$.
Найдем произведение катетов $ab$:
$ab = (5 + \sqrt{11})(5 - \sqrt{11}) = 5^2 - (\sqrt{11})^2 = 25 - 11 = 14$ см².
Найдем квадрат гипотенузы $c^2$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$a^2 = (5 + \sqrt{11})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 25 + 10\sqrt{11} + 11 = 36 + 10\sqrt{11}$.
$b^2 = (5 - \sqrt{11})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 25 - 10\sqrt{11} + 11 = 36 - 10\sqrt{11}$.
$c^2 = (36 + 10\sqrt{11}) + (36 - 10\sqrt{11}) = 36 + 36 = 72$.
Тогда длина гипотенузы $c = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.
Теперь можем найти высоту $h$:
$h = \frac{ab}{c} = \frac{14}{6\sqrt{2}} = \frac{7}{3\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{7\sqrt{2}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{6}$ см.