Номер 16.13, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.13. a) Сторона прямоугольника равна 11 мм, а диагональ — 61 мм. Найдите площадь прямоугольника и выразите ее в квадратных сантиметрах.

б) Сторона прямоугольника равна 9 мм, а диагональ — 41 мм. Найдите площадь прямоугольника и выразите ее в квадратных сантиметрах.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию, одна из сторон, например $a$, равна 11 мм, а диагональ $d = 61$ мм. Диагональ и две смежные стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = d^2$.
Найдем неизвестную сторону $b$:
$b^2 = d^2 - a^2$
$b^2 = 61^2 - 11^2 = 3721 - 121 = 3600$
$b = \sqrt{3600} = 60$ мм.
Теперь найдем площадь прямоугольника $S$ как произведение его сторон:
$S = a \cdot b = 11 \text{ мм} \cdot 60 \text{ мм} = 660 \text{ мм}^2$.
Для того чтобы выразить площадь в квадратных сантиметрах, воспользуемся соотношением: 1 см = 10 мм, следовательно, 1 см$^2$ = 100 мм$^2$.
$S = 660 \text{ мм}^2 = \frac{660}{100} \text{ см}^2 = 6,6 \text{ см}^2$.
Ответ: $6,6 \text{ см}^2$.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. По условию, одна из сторон, например $a$, равна 9 мм, а диагональ $d = 41$ мм. Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = d^2$, чтобы найти вторую сторону $b$:
$b^2 = d^2 - a^2$
$b^2 = 41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600$
$b = \sqrt{1600} = 40$ мм.
Найдем площадь прямоугольника $S$ как произведение его сторон:
$S = a \cdot b = 9 \text{ мм} \cdot 40 \text{ мм} = 360 \text{ мм}^2$.
Теперь выразим площадь в квадратных сантиметрах, зная, что 1 см$^2$ = 100 мм$^2$:
$S = 360 \text{ мм}^2 = \frac{360}{100} \text{ см}^2 = 3,6 \text{ см}^2$.
Ответ: $3,6 \text{ см}^2$.