Номер 16.11, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.11. a) Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 18 см, а угол при основании равен $30^\circ$.

б) Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 12 см, а угол при основании равен $30^\circ$.

а) Дано: равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 18 см, а угол при основании равен 30°.
Пусть боковые стороны треугольника равны $b=c=18$ см, а углы при основании равны $\alpha = \beta = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол $\gamma$ при вершине, противолежащей основанию, равен:
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:
$S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin(\gamma)$
Подставим известные значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot \sin(120^\circ)$
Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ см².
Ответ: $81\sqrt{3}$ см².

б) Дано: равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а угол при основании равен 30°.
Пусть основание треугольника равно $a=12$ см, а углы при основании равны $\alpha=30^\circ$.
Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} a \cdot h$, где $h$ — высота, проведенная к основанию.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание на два равных отрезка. Полученный прямоугольный треугольник имеет катет, равный половине основания $\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см, и прилежащий к нему угол $\alpha = 30^\circ$. Второй катет этого треугольника — это высота $h$.
Связь между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2}$
Отсюда найдем высоту $h$:
$h = \frac{a}{2} \cdot \tan(\alpha) = 6 \cdot \tan(30^\circ)$
Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².
Ответ: $12\sqrt{3}$ см².