Номер 16.14, страница 92 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.14. a) В параллелограмме $ABCD$ $AB = 7$ см, $BC = 25$ см, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $CD$. Найдите площадь параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ $AB = 8$ см, $BC = 17$ см, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. Найдите площадь параллелограмма.

а)

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, следовательно, сторона $CD$ равна стороне $AB$, а сторона $AD$ равна стороне $BC$.
$CD = AB = 7$ см.
$AD = BC = 25$ см.
По условию задачи диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $CD$, это означает, что треугольник $BCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle BDC = 90^\circ$).
В прямоугольном треугольнике $BCD$ сторона $BC$ является гипотенузой, а стороны $BD$ и $CD$ — катетами.
По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), найдем длину катета $BD$:
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
$BD^2 + 7^2 = 25^2$
$BD^2 + 49 = 625$
$BD^2 = 625 - 49 = 576$
$BD = \sqrt{576} = 24$ см.
Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение длины стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В нашем случае $CD$ — это основание, а $BD$ — высота, так как $BD \perp CD$.
$S_{ABCD} = CD \cdot BD = 7 \cdot 24 = 168$ см$^2$.

Ответ: 168 см$^2$.

б)

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 8$ см, а $AD = BC = 17$ см.
Согласно условию, диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, что означает, что $\angle ACD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ACD$ — прямоугольный.
В этом прямоугольном треугольнике $AD$ является гипотенузой (так как лежит напротив прямого угла), а $AC$ и $CD$ — катетами.
Применим теорему Пифагора для треугольника $ACD$ ($AD^2 = AC^2 + CD^2$), чтобы найти длину катета $AC$:
$17^2 = AC^2 + 8^2$
$289 = AC^2 + 64$
$AC^2 = 289 - 64 = 225$
$AC = \sqrt{225} = 15$ см.
Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, на которые его делит диагональ. Найдем площадь прямоугольного треугольника $ACD$. Его площадь равна половине произведения его катетов.
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60$ см$^2$.
Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ равна:
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ACD} = 2 \cdot 60 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.