Номер 16.8, страница 91 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.8. a) В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка длиной $15$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $64$ см.

б) В треугольнике $ABC$ медиана, проведенная к стороне $AC$, является биссектрисой угла $B$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $98$ см, а длина стороны $AC$ на $2$ см меньше суммы длин остальных сторон.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$. По условию, $BD = DC = 15$ см. Это означает, что биссектриса $AD$ является также и медианой треугольника $ABC$.

По свойству треугольника, если биссектриса угла является медианой, то треугольник равнобедренный. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, и его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$:
$BC = BD + DC = 15 + 15 = 30$ см.

Периметр треугольника $P$ равен 64 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:
$P = AB + AC + BC$.
Так как $AB = AC$, можно записать:
$64 = 2 \cdot AB + 30$
$2 \cdot AB = 64 - 30 = 34$
$AB = 17$ см.
Таким образом, стороны треугольника равны $AB = AC = 17$ см и $BC = 30$ см.

Для нахождения площади воспользуемся тем, что в равнобедренном треугольнике медиана (и биссектриса) $AD$, проведенная к основанию, является также и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора:
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
$AD^2 + 15^2 = 17^2$
$AD^2 + 225 = 289$
$AD^2 = 289 - 225 = 64$
$AD = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$
$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведенная к стороне $AC$, является биссектрисой угла $B$.

По свойству треугольника, если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный. В данном случае медиана и биссектриса проведены из вершины $B$, значит, стороны, прилежащие к этому углу, равны: $AB = BC$.

Обозначим длины равных сторон $AB = BC = x$, а длину основания $AC = y$.
Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = x + x + y = 2x + y$. По условию, $P = 98$ см. Получаем первое уравнение: $2x + y = 98$.

По второму условию, длина стороны $AC$ на 2 см меньше суммы длин остальных сторон:
$AC = (AB + BC) - 2$
$y = (x + x) - 2$
Получаем второе уравнение: $y = 2x - 2$.

Решим систему из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x + (2x - 2) = 98$
$4x - 2 = 98$
$4x = 100$
$x = 25$ см.
Следовательно, $AB = BC = 25$ см.
Теперь найдем $y$:
$y = 2 \cdot 25 - 2 = 50 - 2 = 48$ см.
Следовательно, $AC = 48$ см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также и высотой. Так как $BM$ — медиана, она делит сторону $AC$ пополам:
$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По теореме Пифагора:
$BM^2 + AM^2 = AB^2$
$BM^2 + 24^2 = 25^2$
$BM^2 + 576 = 625$
$BM^2 = 625 - 576 = 49$
$BM = \sqrt{49} = 7$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM$
$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 7 = 24 \cdot 7 = 168$ см$^2$.

Ответ: 168 см$^2$.