Номер 16.5, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.5. a) В треугольнике отношение величин углов равно $1 : 2 : 3$, а площадь треугольника равна $32\sqrt{3}$ $\text{см}^2$. Найдите длину наибольшей стороны треугольника.

б)В треугольнике отношение величин углов равно $1 : 2 : 3$, а площадь треугольника равна $18\sqrt{3}$ $\text{см}^2$. Найдите длину наибольшей стороны треугольника.

а)

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию, их величины относятся как $1:2:3$. Обозначим одну часть как $x$. Тогда углы равны $x$, $2x$ и $3x$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$x + 2x + 3x = 180^\circ$
$6x = 180^\circ$
$x = 30^\circ$
Таким образом, углы треугольника равны:
$\alpha = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$
$\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
$\gamma = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Поскольку один из углов равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным. Наибольшая сторона в треугольнике лежит напротив наибольшего угла. В нашем случае это гипотенуза, лежащая напротив угла $90^\circ$.
Пусть $a$ и $b$ — катеты, лежащие напротив углов $30^\circ$ и $60^\circ$ соответственно, а $c$ — гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.
По условию, площадь $S = 32\sqrt{3}$ см$^2$.
$\frac{1}{2}ab = 32\sqrt{3}$
$ab = 64\sqrt{3}$
В прямоугольном треугольнике катеты связаны через тангенс острого угла. Например, для угла $30^\circ$:
$\tan(30^\circ) = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Отсюда $b = a\sqrt{3}$.
Подставим это выражение в уравнение для площади:
$a(a\sqrt{3}) = 64\sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$
$a^2 = 64$
$a = 8$ см.
Теперь найдем второй катет $b$:
$b = 8\sqrt{3}$ см.
Наибольшую сторону (гипотенузу $c$) найдем по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256$
$c = \sqrt{256} = 16$ см.
Ответ: 16 см.

б)

Аналогично пункту а), углы треугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Треугольник прямоугольный.
Наибольшая сторона — гипотенуза $c$, лежащая напротив угла $90^\circ$. Катеты $a$ и $b$ лежат напротив углов $30^\circ$ и $60^\circ$.
Площадь треугольника $S = 18\sqrt{3}$ см$^2$.
Формула площади: $S = \frac{1}{2}ab$.
$\frac{1}{2}ab = 18\sqrt{3}$
$ab = 36\sqrt{3}$
Соотношение между катетами, как и в предыдущем пункте, $b = a\sqrt{3}$.
Подставим это в уравнение для площади:
$a(a\sqrt{3}) = 36\sqrt{3}$
$a^2\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$
$a^2 = 36$
$a = 6$ см.
Найдем второй катет $b$:
$b = 6\sqrt{3}$ см.
Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 36 \cdot 3 = 36 + 108 = 144$
$c = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.