Номер 15.7, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.7. a) Изобразите на координатной плоскости треугольник, вершины которого имеют координаты $(0;\ 7)$, $(0;\ -7)$, $(-4;\ 0)$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно оси ординат. Найдите площадь полученного четырехугольника.

б) Изобразите на координатной плоскости треугольник, вершины которого имеют координаты $(0;\ 7)$, $(-6;\ 0)$, $(6;\ 0)$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно оси абсцисс. Найдите площадь полученного четырехугольника.

а)

1. Построим на координатной плоскости треугольник, обозначив его вершины как A(0; 7), B(0; -7) и C(-4; 0). Точки A и B лежат на оси ординат (оси Oy), а точка C — на оси абсцисс (оси Ox). Таким образом, одна из сторон треугольника (AB) лежит на оси Oy.

2. Построим треугольник, симметричный данному относительно оси ординат (оси Oy). При симметрии относительно оси Oy у каждой точки меняется на противоположный знак абсциссы (координаты x), а ордината (координата y) остается неизменной. То есть точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.
Найдем координаты вершин симметричного треугольника A'B'C':
- Вершина A(0; 7) находится на оси симметрии, поэтому она отображается сама на себя: A'(-0; 7) или A'(0; 7).
- Вершина B(0; -7) также находится на оси симметрии и отображается сама на себя: B'(-0; -7) или B'(0; -7).
- Для вершины C(-4; 0) симметричной будет точка C'(-(-4); 0) или C'(4; 0).

3. Полученный четырехугольник образуется объединением исходного и симметричного ему треугольников. Его вершинами являются точки A(0; 7), C(-4; 0), B(0; -7) и C'(4; 0). Этот четырехугольник ACBC' является ромбом, так как его диагонали AB и CC' взаимно перпендикулярны (лежат на осях координат) и точкой пересечения делятся пополам.

4. Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Найдем длины диагоналей AB и CC'.
Длина диагонали AB, лежащей на оси Oy: $d_1 = |7 - (-7)| = |14| = 14$.
Длина диагонали CC', лежащей на оси Ox: $d_2 = |4 - (-4)| = |8| = 8$.
Вычислим площадь S четырехугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56$.

Ответ: Площадь полученного четырехугольника равна 56.

б)

1. Построим на координатной плоскости треугольник с вершинами A(0; 7), B(-6; 0) и C(6; 0). Точка A лежит на оси ординат (оси Oy), а точки B и C — на оси абсцисс (оси Ox). Сторона треугольника BC лежит на оси Ox.

2. Построим треугольник, симметричный данному относительно оси абсцисс (оси Ox). При симметрии относительно оси Ox у каждой точки меняется на противоположный знак ординаты (координаты y), а абсцисса (координата x) остается неизменной. То есть точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(x; -y)$.
Найдем координаты вершин симметричного треугольника A'B'C':
- Для вершины A(0; 7) симметричной будет точка A'(0; -7).
- Вершина B(-6; 0) находится на оси симметрии, поэтому она отображается сама на себя: B'(-6; -0) или B'(-6; 0).
- Вершина C(6; 0) также находится на оси симметрии и отображается сама на себя: C'(6; -0) или C'(6; 0).

3. Объединение исходного и симметричного ему треугольников образует четырехугольник. Его вершинами являются точки A(0; 7), C(6; 0), A'(0; -7) и B(-6; 0). Этот четырехугольник AC'A'B' (или ABA'C) является ромбом, так как его диагонали AA' и BC взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения (началом координат) пополам.

4. Найдем площадь полученного ромба как половину произведения длин его диагоналей.
Длина диагонали BC, лежащей на оси Ox: $d_1 = |6 - (-6)| = |12| = 12$.
Длина диагонали AA', лежащей на оси Oy: $d_2 = |7 - (-7)| = |14| = 14$.
Вычислим площадь S четырехугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 14 = 84$.

Ответ: Площадь полученного четырехугольника равна 84.