Номер 15.6, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.6. a) Диагонали ромба площадью $168 \text{ см}^2$ относятся как $3:7$. Найдите длину большей диагонали ромба.

б) Разность длин диагоналей ромба равна $9 \text{ см}$, а площадь ромба — $126 \text{ см}^2$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

а)

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.
По условию, площадь ромба $S = 168 \text{ см}^2$, а диагонали относятся как $3 : 7$.
Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда длины диагоналей можно выразить как $d_1 = 3x$ и $d_2 = 7x$.
Подставим эти выражения в формулу площади:
$168 = \frac{1}{2} (3x)(7x)$
$168 = \frac{21}{2} x^2$
Чтобы найти $x^2$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{21}$:
$x^2 = 168 \cdot \frac{2}{21}$
$x^2 = \frac{336}{21}$
$x^2 = 16$
Поскольку длина не может быть отрицательной, находим положительный корень:
$x = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.
Теперь можем найти длины диагоналей:
Меньшая диагональ: $d_1 = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}$.
Большая диагональ: $d_2 = 7x = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}$.
В задаче требуется найти длину большей диагонали.
Ответ: 28 см.

б)

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$, где $d_1$ — большая диагональ, а $d_2$ — меньшая.
Из условия известно, что разность длин диагоналей равна 9 см, то есть:
$d_1 - d_2 = 9$
Площадь ромба $S = 126 \text{ см}^2$. Формула площади через диагонали:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = 126$
Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} d_1 - d_2 = 9 \\ \frac{1}{2} d_1 d_2 = 126 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $d_1$: $d_1 = d_2 + 9$.
Из второго уравнения получим: $d_1 d_2 = 2 \cdot 126 = 252$.
Подставим выражение для $d_1$ во второе уравнение:
$(d_2 + 9) d_2 = 252$
$d_2^2 + 9d_2 - 252 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $d_2$. Решим его, используя дискриминант ($D$):
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$
Найдем корни уравнения для $d_2$:
$(d_2)_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$(d_2)_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21$
Длина диагонали не может быть отрицательной, поэтому корень $-21$ не подходит.
Следовательно, длина меньшей диагонали $d_2 = 12 \text{ см}$.
(Для проверки найдем большую диагональ: $d_1 = d_2 + 9 = 12 + 9 = 21 \text{ см}$. Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126 \text{ см}^2$, что соответствует условию).
В задаче требуется найти длину меньшей диагонали.
Ответ: 12 см.