Номер 14.8, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.8. a) Длины двух высот параллелограмма равны 3 см и 4 см, угол между ними равен $30^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

б) Длины двух высот параллелограмма относятся как $4:5$, угол между ними равен $30^\circ$. Периметр параллелограмма равен 72 см. Найдите площадь параллелограмма.

а)

Пусть $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, а $h_a = 3$ см и $h_b = 4$ см — высоты, опущенные на эти стороны соответственно. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен острому углу этого параллелограмма. Таким образом, острый угол параллелограмма $\alpha$ равен $30^\circ$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле, связывающей его высоты и угол между ними:

$S = \frac{h_a \cdot h_b}{\sin \alpha}$

Подставим известные значения:

$S = \frac{3 \cdot 4}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{1/2} = 24$ см².

Другой способ решения:
Высоты параллелограмма связаны с его сторонами и углом $\alpha$ следующими соотношениями: $h_a = b \sin \alpha$ и $h_b = a \sin \alpha$.
Найдем стороны $a$ и $b$:
$h_b = a \sin 30^\circ \implies 4 = a \cdot \frac{1}{2} \implies a = 8$ см.
$h_a = b \sin 30^\circ \implies 3 = b \cdot \frac{1}{2} \implies b = 6$ см.
Теперь вычислим площадь, используя любую из сторон и соответствующую ей высоту:
$S = a \cdot h_a = 8 \cdot 4 = 24$ см². Или $S = b \cdot h_b = 6 \cdot 4 = 24$ см².

Ответ: 24 см².

б)

Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты параллелограмма, а $a$ и $b$ — стороны, к которым они проведены.
По условию, $h_a : h_b = 4 : 5$. Периметр $P = 2(a+b) = 72$ см, следовательно, полупериметр $a+b = 36$ см.
Угол между высотами равен $30^\circ$, значит, острый угол параллелограмма $\alpha = 30^\circ$.

Площадь параллелограмма $S$ можно выразить как $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Отсюда следует равенство $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
Из этого равенства можно найти отношение сторон:
$\frac{a}{b} = \frac{h_b}{h_a} = \frac{5}{4}$.
Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений для нахождения сторон:

$ \begin{cases} a + b = 36 \\ \frac{a}{b} = \frac{5}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a = \frac{5}{4}b$ и подставим в первое:
$\frac{5}{4}b + b = 36$
$\frac{9}{4}b = 36$
$b = \frac{36 \cdot 4}{9} = 4 \cdot 4 = 16$ см.
Тогда $a = 36 - b = 36 - 16 = 20$ см.

Теперь, зная обе стороны и угол между ними, найдем площадь параллелограмма по формуле:

$S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$
$S = 20 \cdot 16 \cdot \sin 30^\circ = 320 \cdot \frac{1}{2} = 160$ см².

Ответ: 160 см².