Номер 14.3, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.3. Найдите площадь ромба $ABCD$ по данным рисунков 142, а), б).

а) $A, B, C, D, H$

$AB = 11$

$BH = 8$

$\angle BHD = 90^\circ$

б) $A, B, C, D, H$

$AB = 10$

$\angle ADC = 150^\circ$

$\angle BHD = 90^\circ$

Рис. 142

а)

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле произведения его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$.

По определению, у ромба все стороны равны. Из рисунка видно, что сторона $AB = 11$. Следовательно, сторона $AD$, на которую опущена высота $BH$, также равна 11. Таким образом, $a = AD = 11$.

Высота $BH$ дана и равна 8. Таким образом, $h = BH = 8$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 11 \cdot 8 = 88$.

Ответ: 88

б)

Для нахождения площади ромба воспользуемся той же формулой: $S = a \cdot h$.

Поскольку $ABCD$ - ромб, все его стороны равны. Нам дана сторона $BC=10$, значит, сторона $AD$ (основание) и сторона $AB$ также равны 10. Итак, $a = AD = 10$.

Высоту $BH$ необходимо найти. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$, в котором $BH$ является катетом. Для нахождения $BH$ нам нужен угол $\angle A$.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

По условию, тупой угол ромба $\angle ADC = 150^\circ$. Отсюда находим острый угол $\angle DAB$ (он же $\angle A$):

$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ катет $BH$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в этом треугольнике — это сторона ромба $AB = 10$.

$h = BH = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Теперь, зная сторону и высоту, находим площадь ромба:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 10 \cdot 5 = 50$.

Ответ: 50