Номер 13.6, страница 83 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.6. По данным рисунков 138, а), б) найдите площадь прямоугольника ABCD.

а) BC = $10\sqrt{3}$

BD = $20$

$\angle ABD = 60^\circ$

б) BC = $8\sqrt{3}$

AC = $16$

$\angle ACD = 60^\circ$

Рис. 138

а)

Чтобы найти площадь прямоугольника $ABCD$, необходимо найти длины его смежных сторон. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину: $S_{ABCD} = AB \cdot BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$, в котором угол $\angle A = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Из рисунка нам известны гипотенуза $BD = 20$ и угол $\angle ABD = 60^\circ$. Мы можем найти катеты $AB$ и $AD$ (который равен $BC$) с помощью тригонометрических соотношений.

Катет $AB$, прилежащий к углу $\angle ABD$, можно найти через косинус: $AB = BD \cdot \cos(\angle ABD) = 20 \cdot \cos(60^\circ)$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $AB = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$.

Катет $AD$, противолежащий углу $\angle ABD$, можно найти через синус: $AD = BD \cdot \sin(\angle ABD) = 20 \cdot \sin(60^\circ)$. Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $AD = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Поскольку в прямоугольнике противоположные стороны равны, $BC = AD = 10\sqrt{3}$. Это совпадает с данными на рисунке. Теперь можем вычислить площадь прямоугольника: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 10 \cdot 10\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$.

Ответ: $100\sqrt{3}$.

б)

Для нахождения площади прямоугольника $ABCD$ также найдем длины его смежных сторон, например, $CD$ и $AD$. Площадь будет равна $S_{ABCD} = CD \cdot AD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором угол $\angle D = 90^\circ$. Из рисунка нам известны гипотенуза $AC = 16$ и угол $\angle ACD = 60^\circ$.

Катет $CD$, прилежащий к углу $\angle ACD$, найдем через косинус: $CD = AC \cdot \cos(\angle ACD) = 16 \cdot \cos(60^\circ)$. Используя значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, имеем: $CD = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.

Катет $AD$, противолежащий углу $\angle ACD$, найдем через синус: $AD = AC \cdot \sin(\angle ACD) = 16 \cdot \sin(60^\circ)$. Используя значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем: $AD = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$.

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC = AD = 8\sqrt{3}$, что соответствует данным на рисунке. Теперь вычислим площадь: $S_{ABCD} = CD \cdot AD = 8 \cdot 8\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$.

Ответ: $64\sqrt{3}$.