Номер 12.3, страница 81 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.3. a) Треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle ABC = 120^{\circ}$. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$. Найдите периметр четырехугольника $ABCB_1$, если расстояние между точками $B$ и $B_1$ равно 6 см.

б) Треугольник $MNP$ равнобедренный, $MN = 12$ см, $\angle MNP = 120^{\circ}$. Точка $M_1$ симметрична точке $M$ относительно прямой $NP$. Найдите высоту треугольника $MPM_1$.

а)

По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с углом $\angle ABC = 120^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как угол при вершине $B$ тупой, то основанием является сторона $AC$, а боковыми сторонами — $AB$ и $BC$. Следовательно, $AB = BC$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$. Это означает, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB_1$. Пусть $H$ — точка пересечения $AC$ и $BB_1$. Тогда $BB_1 \perp AC$ и $BH = B_1H$.

По условию, расстояние между точками $B$ и $B_1$ равно 6 см, то есть $BB_1 = 6$ см. Отсюда находим длину отрезка $BH$:

$BH = BB_1 / 2 = 6 / 2 = 3$ см.

Рассмотрим четырехугольник $ABCB_1$. Из симметрии относительно прямой $AC$ следует, что $\triangle ABC \cong \triangle AB_1C$. Поэтому $AB = AB_1$ и $BC = B_1C$. Так как $AB = BC$, то все четыре стороны четырехугольника равны: $AB = BC = CB_1 = B_1A$. Значит, $ABCB_1$ — ромб.

Периметр ромба равен $P = 4 \cdot AB$. Найдем длину стороны $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $BH = 3$ см и противолежащий ему угол $\angle BAH = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$

$\sin(30^\circ) = \frac{3}{AB}$

Так как $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{AB}$

Отсюда $AB = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Теперь можем найти периметр ромба $ABCB_1$:

$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б)

По условию, треугольник $MNP$ равнобедренный с углом $\angle MNP = 120^\circ$. Так как угол при вершине $N$ тупой, то боковыми сторонами являются $MN$ и $NP$. Нам дано $MN = 12$ см, следовательно, $MN = NP = 12$ см.

Точка $M_1$ симметрична точке $M$ относительно прямой $NP$. Нам нужно найти высоту треугольника $MPM_1$. Для этого найдем длины его сторон: $MP$, $PM_1$ и $MM_1$.

1. Найдем длину стороны $MP$ в треугольнике $MNP$ по теореме косинусов:

$MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2 \cdot MN \cdot NP \cdot \cos(\angle MNP)$

$MP^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$MP^2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot (-\frac{1}{2}) = 288 + 144 = 432$.

$MP = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ см.

2. Так как точка $M_1$ является отражением точки $M$ относительно прямой $NP$, то расстояние от любой точки на прямой $NP$ (включая точку $P$) до $M$ и $M_1$ одинаково. Следовательно, $PM_1 = MP = 12\sqrt{3}$ см.

3. Найдем длину стороны $MM_1$. Пусть $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $NP$. Тогда $MK \perp NP$. Так как отражение $M_1$ строится по той же прямой, то $M, K, M_1$ лежат на одной прямой, и $MK = M_1K$. Таким образом, $MM_1 = 2 \cdot MK$.

Рассмотрим треугольник $MNP$. Поскольку угол $\angle MNP = 120^\circ$ является тупым, точка $K$ будет лежать на продолжении отрезка $PN$ за точку $N$. Угол, смежный с $\angle MNP$, равен $\angle MNK = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $MNK$ (с гипотенузой $MN=12$ см):

$MK = MN \cdot \sin(\angle MNK) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Тогда длина стороны $MM_1$ равна:

$MM_1 = 2 \cdot MK = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.

Мы получили, что все три стороны треугольника $MPM_1$ равны: $MP = PM_1 = MM_1 = 12\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $MPM_1$ — равносторонний.

Все высоты в равностороннем треугольнике равны. Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 12\sqrt{3}$ см. Вычисляем высоту:

$h = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.