Номер 11.11, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.11. В равнобедренной трапеции длины боковых сторон равны длине меньшего основания, а длины диагоналей — длине большего основания. Найдите величины углов данной трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ является большим основанием.

Согласно условию задачи, длины боковых сторон равны длине меньшего основания. Обозначим эту длину за $a$:
$AB = CD = BC = a$.

Также по условию, длины диагоналей равны длине большего основания. Обозначим эту длину за $b$:
$AC = BD = AD = b$.

Наша задача — найти углы трапеции: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. В нем стороны $AC = AD = b$. Следовательно, треугольник $ACD$ — равнобедренный с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ACD = \angle ADC$.

Пусть величина угла при большем основании трапеции равна $\alpha$. То есть, $\angle D = \angle A = \alpha$. Так как $\angle ADC$ — это угол трапеции при вершине $D$, то $\angle ADC = \alpha$. Из равенства углов при основании в треугольнике $ACD$ следует, что $\angle ACD = \alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle CAD$:
$\angle CAD = 180^\circ - (\angle ADC + \angle ACD) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то внутренние накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В нем стороны $AB = BC = a$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Так как $\angle BCA = 180^\circ - 2\alpha$, то и $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$.

Угол трапеции при вершине $A$ ($\angle DAB$) равен сумме углов $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Мы обозначили его как $\alpha$. $\angle DAB = \angle BAC + \angle CAD$.
Подставим полученные выражения для углов в это равенство: $\alpha = (180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\alpha)$.

Решим полученное уравнение: $\alpha = 360^\circ - 4\alpha$
$5\alpha = 360^\circ$
$\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Таким образом, углы при большем основании трапеции равны $72^\circ$ ($\angle A = \angle D = 72^\circ$). Углы при меньшем основании равны $180^\circ - \alpha$: $\angle B = \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Ответ: углы данной трапеции равны $72^\circ, 108^\circ, 108^\circ, 72^\circ$.