Номер 11.5, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.5. а) Изобразите на координатной плоскости равнобедренную трапецию, три вершины которой имеют координаты $(-6; -3)$, $(-2; 7)$, $(8; -3)$. Найдите длину средней линии полученной трапеции, если известно, что она параллельна оси абсцисс. За единичный отрезок примите две клетки тетради, т. е. 1 см.

б) Изобразите на координатной плоскости равнобедренную трапецию, три вершины которой имеют координаты $(-5; -2)$, $(-5; 5)$, $(2; -4)$. Найдите длину средней линии полученной трапеции, если известно, что она параллельна оси ординат. За единичный отрезок примите две клетки тетради, т. е. 1 см.

а)

Даны три вершины равнобедренной трапеции: A(–6; –3), B(–2; 7), C(8; –3). Из условия известно, что средняя линия трапеции параллельна оси абсцисс (оси Ox).

1. Поскольку средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то основания трапеции также должны быть параллельны оси Ox. Прямые, параллельные оси Ox, состоят из точек с одинаковой ординатой (координатой y).

2. Среди заданных вершин точки A(–6; –3) и C(8; –3) имеют одинаковую ординату $y = -3$. Следовательно, отрезок AC является одним из оснований трапеции.

3. Найдем длину основания AC. Так как оно параллельно оси Ox, его длина равна модулю разности абсцисс его концов: $a = |8 - (-6)| = |8 + 6| = 14$.

4. Второе основание трапеции должно проходить через оставшуюся вершину B(–2; 7) и быть параллельным основанию AC (и оси Ox). Значит, все точки этого основания имеют ординату $y = 7$. Обозначим четвертую вершину как D$(x_D; 7)$.

5. Так как трапеция равнобедренная, а ее основания параллельны оси Ox, она имеет вертикальную ось симметрии. Абсцисса этой оси симметрии равна полусумме абсцисс концов любого из оснований. Найдем ее, используя координаты точек A и C: $x_{сим} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

6. Эта же ось симметрии проходит через середину второго основания BD. Используем это для нахождения $x_D$: $\frac{-2 + x_D}{2} = 1$
$-2 + x_D = 2$
$x_D = 4$.
Таким образом, координаты четвертой вершины — D(4; 7).

7. Для построения трапеции на координатной плоскости необходимо отметить точки A(–6; –3), B(–2; 7), C(8; –3) и D(4; 7), а затем соединить их отрезками, чтобы получить трапецию ABDC. Основаниями будут AC и BD.

8. Найдем длину второго основания BD: $b = |4 - (-2)| = |4 + 2| = 6$.

9. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований: $m = \frac{a + b}{2} = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10.

б)

Даны три вершины равнобедренной трапеции: A(–5; –2), B(–5; 5), C(2; –4). Из условия известно, что средняя линия трапеции параллельна оси ординат (оси Oy).

1. Так как средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то основания трапеции также параллельны оси Oy. Прямые, параллельные оси Oy, состоят из точек с одинаковой абсциссой (координатой x).

2. Среди заданных вершин точки A(–5; –2) и B(–5; 5) имеют одинаковую абсциссу $x = -5$. Следовательно, отрезок AB является одним из оснований трапеции.

3. Найдем длину основания AB. Так как оно параллельно оси Oy, его длина равна модулю разности ординат его концов: $a = |5 - (-2)| = |5 + 2| = 7$.

4. Второе основание трапеции должно проходить через оставшуюся вершину C(2; –4) и быть параллельным основанию AB (и оси Oy). Значит, все точки этого основания имеют абсциссу $x = 2$. Обозначим четвертую вершину как D$(2; y_D)$.

5. Так как трапеция равнобедренная, а ее основания параллельны оси Oy, она имеет горизонтальную ось симметрии. Ордината этой оси симметрии равна полусумме ординат концов любого из оснований. Найдем ее, используя координаты точек A и B: $y_{сим} = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

6. Эта же ось симметрии проходит через середину второго основания CD. Используем это для нахождения $y_D$: $\frac{-4 + y_D}{2} = 1.5$
$-4 + y_D = 3$
$y_D = 7$.
Таким образом, координаты четвертой вершины — D(2; 7).

7. Для построения трапеции на координатной плоскости необходимо отметить точки A(–5; –2), B(–5; 5), C(2; –4) и D(2; 7), а затем соединить их отрезками, чтобы получить трапецию ACDB. Основаниями будут AB и CD.

8. Найдем длину второго основания CD: $b = |7 - (-4)| = |7 + 4| = 11$.

9. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований: $m = \frac{a + b}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 9.