Номер 11.3, страница 78 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.3. По данным рисунков 134, а), б) найдите длину меньшей боковой стороны трапеции ABCD.

а) $CD = 8 \text{ см}$, $\angle BCD = 150^\circ$

б) $BC = 6 \text{ см}$, $AD = 10 \text{ см}$, $\angle ADC = 45^\circ$

Рис. 134

а)

Дано: ABCD — прямоугольная трапеция ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), $CD = 8$ см, $\angle BCD = 150^\circ$.

Боковыми сторонами трапеции являются AB и CD. Необходимо найти длину меньшей из них. Длина стороны CD уже известна и равна 8 см. Требуется найти длину стороны AB.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Поскольку трапеция ABCD прямоугольная (с прямым углом при вершине A), то четырехугольник ABCH является прямоугольником. Из этого следует, что $AB = CH$ и $\angle BCH = 90^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов: $\angle BCD = \angle BCH + \angle HCD$. Подставим известные значения:

$150^\circ = 90^\circ + \angle HCD$

Отсюда находим угол $\angle HCD$:

$\angle HCD = 150^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD (где $\angle CHD = 90^\circ$). Найдем угол $\angle CDH$:

$\angle CDH = 180^\circ - \angle CHD - \angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике CHD катет CH лежит напротив угла в $30^\circ$. По свойству катета, лежащего напротив угла в $30^\circ$, он равен половине гипотенузы:

$CH = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Так как $AB = CH$, то $AB = 4$ см.

Сравниваем длины боковых сторон: $AB = 4$ см и $CD = 8$ см. Очевидно, что $4 < 8$, поэтому меньшая боковая сторона — AB.

Ответ: 4 см.

б)

Дано: ABCD — прямоугольная трапеция ($BC \parallel AD$, $AB \perp AD$), $BC = 6$ см, $AD = 10$ см, $\angle ADC = 45^\circ$.

Боковыми сторонами являются AB и CD. Найдем их длины и сравним, чтобы определить меньшую.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Четырехугольник ABCH — прямоугольник, поэтому $AB = CH$ и $AH = BC = 6$ см.

Основание AD состоит из двух отрезков: $AD = AH + HD$. Найдем длину отрезка HD:

$HD = AD - AH = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD ($\angle CHD = 90^\circ$). В нем известен катет $HD = 4$ см и прилежащий к нему угол $\angle CDH = \angle ADC = 45^\circ$.

Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $45^\circ$ ($\angle HCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$). Это означает, что треугольник CHD является равнобедренным, и его катеты равны:

$CH = HD = 4$ см.

Так как $AB = CH$, то $AB = 4$ см.

Теперь найдем длину второй боковой стороны CD, которая является гипотенузой в треугольнике CHD. Используем теорему Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$CD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Сравним длины боковых сторон: $AB = 4$ см и $CD = 4\sqrt{2}$ см. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $4\sqrt{2} > 4$. Следовательно, меньшая боковая сторона — AB.

Ответ: 4 см.