Номер 11.2, страница 78 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.2. По данным рисунков 133, а), б) найдите периметр равнобедренной трапеции $ABCD$.

а)$BL \parallel CD$, $BC = 9$ см,
$P_{ABL} = 15$ см

б)$AB \parallel CN$, $AN = 7$ см,
$P_{CND} = 28$ см

Рис. 133

а)

По условию, $ABCD$ — равнобедренная трапеция, следовательно, её боковые стороны равны: $AB = CD$. Также основания трапеции параллельны: $BC \parallel AD$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDL$. По условию, $BL \parallel CD$. Так как $BC \parallel AD$, то $BC \parallel LD$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника $BCDL$ попарно параллельны, то $BCDL$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

• $BL = CD$
• $LD = BC = 9$ см

Так как $AB = CD$ (свойство равнобедренной трапеции) и $BL = CD$ (свойство параллелограмма), то $AB = BL$.

Периметр треугольника $ABL$ равен $P_{ABL} = AB + BL + AL$. Подставив $BL = AB$, получим:

$P_{ABL} = AB + AB + AL = 2AB + AL = 15$ см.

Периметр трапеции $ABCD$ равен $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Заменим $CD$ на $AB$ и $AD$ на $AL + LD$:

$P_{ABCD} = AB + BC + AB + (AL + LD)$

Подставим известные значения $BC = 9$ см и $LD = 9$ см:

$P_{ABCD} = 2AB + 9 + AL + 9 = (2AB + AL) + 18$

Мы знаем, что $2AB + AL = 15$ см, поэтому:

$P_{ABCD} = 15 + 18 = 33$ см.

Ответ: 33 см.

б)

По условию, $ABCD$ — равнобедренная трапеция, следовательно, $AB = CD$ и $BC \parallel AD$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCN$. По условию, $AB \parallel CN$. Так как $BC \parallel AD$, то $BC \parallel AN$. Поскольку противоположные стороны четырехугольника $ABCN$ попарно параллельны, то $ABCN$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны:

• $CN = AB$
• $BC = AN = 7$ см

Так как $AB = CD$ (свойство равнобедренной трапеции) и $CN = AB$ (свойство параллелограмма), то $CD = CN$.

Периметр треугольника $CND$ равен $P_{CND} = CN + CD + ND$. Подставив $CN = CD$, получим:

$P_{CND} = CD + CD + ND = 2CD + ND = 28$ см.

Периметр трапеции $ABCD$ равен $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Заменим $AB$ на $CD$ и $AD$ на $AN + ND$:

$P_{ABCD} = CD + BC + CD + (AN + ND)$

Подставим известные значения $BC = 7$ см и $AN = 7$ см:

$P_{ABCD} = 2CD + 7 + 7 + ND = (2CD + ND) + 14$

Мы знаем, что $2CD + ND = 28$ см, поэтому:

$P_{ABCD} = 28 + 14 = 42$ см.

Ответ: 42 см.