Номер 10.6, страница 77 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.6. В трапеции $ABCD$ основание $BC = 10 \text{ см}$, боковые стороны $AB = 8 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$. Биссектрисы углов при основании $BC$ пересекаются в точке $P$, принадлежащей основанию $AD$. Найдите длину средней линии трапеции.

Для решения задачи нам необходимо найти длину второго основания трапеции, $AD$. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

1. Рассмотрим треугольник $ABP$.
По условию, $BP$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, следовательно, она делит этот угол на два равных: $\angle ABP = \angle PBC$.
В трапеции основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BP$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle PBC$ и $\angle APB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle PBC = \angle APB$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABP = \angle APB$.
Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABP$ — равнобедренный, и его боковые стороны $AB$ и $AP$ равны.
Поскольку $AB = 8$ см, то и $AP = 8$ см.

2. Рассмотрим треугольник $CDP$.
Аналогично, $CP$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, поэтому $\angle BCP = \angle PCD$.
Так как $BC \parallel AD$, а $CP$ — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BCP$ и $\angle CPD$ равны.
Из этого следует, что $\angle PCD = \angle CPD$.
Следовательно, треугольник $CDP$ также является равнобедренным, и его боковые стороны $CD$ и $PD$ равны.
Поскольку $CD = 12$ см, то и $PD = 12$ см.

3. Найдем длину основания $AD$.
По условию, точка $P$ лежит на основании $AD$. Следовательно, длина основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AP$ и $PD$.
$AD = AP + PD = 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 20$ см.

4. Найдем длину средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции $M$ вычисляется по формуле:
$M = \frac{BC + AD}{2}$
Подставим известные значения оснований:
$M = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Ответ: 15 см.