Номер 9.7, страница 76 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.7. а) В параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $K$. Периметр треугольника $MNK$ равен $13$ см. Найдите длину диагонали $AC$, если $AN = 12$ см и $CM = 9$ см.

б) В параллелограмме $ABCD$ точки $K$ и $L$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $DK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. Найдите периметр треугольника $PKL$, если $DK = 15$ см, $BL = 21$ см и $BD = 8$ см.

а)

Рассмотрим треугольник $ACD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AD$ и $CD$ соответственно, то отрезки $CM$ и $AN$ являются медианами треугольника $ACD$.

Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $K$. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, точка $K$ — центроид треугольника $ACD$.

Это означает, что для медианы $AN$ выполняется соотношение $AK:KN = 2:1$, а для медианы $CM$ — $CK:KM = 2:1$. Из этих соотношений мы можем выразить длины отрезков $KN$ и $MK$ через длины медиан $AN$ и $CM$:

$KN = \frac{1}{3}AN$

$MK = \frac{1}{3}CM$

Подставим известные значения $AN = 12$ см и $CM = 9$ см:

$KN = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см

$MK = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см

Периметр треугольника $MNK$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle MNK} = MN + NK + MK$. По условию, периметр равен 13 см. Мы можем найти длину стороны $MN$:

$MN = P_{\triangle MNK} - NK - MK = 13 - 4 - 3 = 6$ см.

В треугольнике $ACD$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне (в данном случае, диагонали $AC$) и равна ее половине:

$MN = \frac{1}{2}AC$

Отсюда находим длину диагонали $AC$:

$AC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б)

Рассмотрим треугольник $BCD$.

Поскольку точки $K$ и $L$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно, отрезки $DK$ и $BL$ являются медианами треугольника $BCD$.

Медианы $DK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. По свойству медиан треугольника, они делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, точка $P$ — центроид треугольника $BCD$.

Для медианы $DK$ выполняется соотношение $DP:PK = 2:1$, а для медианы $BL$ — $BP:PL = 2:1$. Из этих соотношений мы можем выразить длины отрезков $PK$ и $PL$ через длины медиан $DK$ и $BL$:

$PK = \frac{1}{3}DK$

$PL = \frac{1}{3}BL$

Подставим известные значения $DK = 15$ см и $BL = 21$ см:

$PK = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ см

$PL = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$ см

Теперь найдем длину третьей стороны треугольника $PKL$ — отрезка $KL$. В треугольнике $BCD$ отрезок $KL$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Следовательно, $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне (диагонали $BD$) и равна ее половине:

$KL = \frac{1}{2}BD$

Подставим известное значение $BD = 8$ см:

$KL = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см

Периметр треугольника $PKL$ равен сумме длин его сторон:

$P_{\triangle PKL} = PK + PL + KL = 5 + 7 + 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.