Номер 9.5, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.5. a) В треугольнике $ABC$ медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. Длина отрезка $AO$ на 6 см больше, чем длина отрезка $OM$. Найдите длину медианы $AM$.

б) В треугольнике $ABC$ медианы $AL$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Длина отрезка $OK$ на 4 см меньше, чем длина отрезка $CO$. Найдите длину медианы $CK$.

а)

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медиан $AM$ и $BN$, пересекающихся в точке $O$, это свойство означает, что отрезок $AO$ в два раза длиннее отрезка $OM$.

Запишем это свойство в виде формулы:

$ \frac{AO}{OM} = \frac{2}{1} \implies AO = 2 \cdot OM $

По условию задачи, длина отрезка $AO$ на 6 см больше длины отрезка $OM$. Запишем это в виде уравнения:

$ AO = OM + 6 $

Теперь мы можем приравнять правые части обоих выражений для $AO$:

$ 2 \cdot OM = OM + 6 $

Решим это уравнение относительно $OM$:

$ 2 \cdot OM - OM = 6 $

$ OM = 6 $ см.

Теперь, зная длину $OM$, найдем длину $AO$:

$ AO = 2 \cdot OM = 2 \cdot 6 = 12 $ см.

Длина всей медианы $AM$ равна сумме длин ее частей:

$ AM = AO + OM = 12 + 6 = 18 $ см.

Ответ: 18 см.

б)

Используем то же свойство точки пересечения медиан. В треугольнике $ABC$ медианы $AL$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Для медианы $CK$ выполняется соотношение:

$ \frac{CO}{OK} = \frac{2}{1} \implies CO = 2 \cdot OK $

По условию, длина отрезка $OK$ на 4 см меньше длины отрезка $CO$. Запишем это в виде уравнения:

$ OK = CO - 4 $

Подставим это выражение для $OK$ в первое уравнение:

$ CO = 2 \cdot (CO - 4) $

Решим полученное уравнение относительно $CO$:

$ CO = 2 \cdot CO - 8 $

$ 8 = 2 \cdot CO - CO $

$ CO = 8 $ см.

Теперь найдем длину отрезка $OK$:

$ OK = CO - 4 = 8 - 4 = 4 $ см.

Длина всей медианы $CK$ равна сумме длин ее частей:

$ CK = CO + OK = 8 + 4 = 12 $ см.

Ответ: 12 см.