Номер 8.7, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.7. a) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, точка $N$ — середина стороны $AB$, $AN = 5$ см, $ON = 4$ см. Найдите периметр параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, точка $M$ — середина стороны $BC$, $MC = 7$ см, периметр параллелограмма равен $48$ см. Найдите длину отрезка $OM$.

а)

1. По условию, точка $N$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, длина всей стороны $AB$ вдвое больше длины отрезка $AN$.

$AB = 2 \cdot AN = 2 \cdot 5 = 10$ см.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Значит, точка $O$ — середина диагонали $BD$.

3. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $ON$ соединяет середину стороны $AB$ (точка $N$) и середину стороны $BD$ (точка $O$). По определению, $ON$ является средней линией треугольника $ABD$.

4. Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине: $ON = \frac{1}{2}AD$.

5. Используя данное значение $ON = 4$ см, найдем длину стороны $AD$:

$AD = 2 \cdot ON = 2 \cdot 4 = 8$ см.

6. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух его смежных сторон: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD)$.

7. Подставим найденные длины сторон $AB$ и $AD$ в формулу периметра:

$P_{ABCD} = 2 \cdot (10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

б)

1. По условию, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, длина всей стороны $BC$ вдвое больше длины отрезка $MC$.

$BC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 7 = 14$ см.

2. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (AB + BC)$. Нам известен периметр ($48$ см) и длина одной из сторон ($BC = 14$ см). Найдем длину смежной стороны $AB$.

$48 = 2 \cdot (AB + 14)$

$24 = AB + 14$

$AB = 24 - 14 = 10$ см.

3. В параллелограмме $ABCD$ диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$.

4. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $OM$ соединяет середину стороны $AC$ (точка $O$) и середину стороны $BC$ (точка $M$). По определению, $OM$ является средней линией треугольника $ABC$.

5. Согласно свойству средней линии, она равна половине длины третьей стороны: $OM = \frac{1}{2}AB$.

6. Подставим найденное значение длины стороны $AB$:

$OM = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.