Номер 9.2, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.2. a) По данным рисунка 127 найдите длину отрезка BO, если $OE = x, AO = 8x - 5, ON = 3x + 4$.

б) По данным рисунка 128 найдите длину отрезка CE, если $OE = x, AO = x - 3, OM = 9 - x$.

Рис. 127

Рис. 128

а)

На рисунке 127 отрезки BE и AN являются медианами треугольника ABC, так как они соединяют вершины с серединами противолежащих сторон (согласно отметкам на сторонах AC и BC, AE = EC и BN = NC). Точка O — это точка пересечения медиан.

Ключевое свойство медиан заключается в том, что в точке пересечения они делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Применим это свойство к медиане AN. Соотношение длин ее отрезков: $AO : ON = 2 : 1$, что можно записать как $AO = 2 \cdot ON$. В условии даны выражения для длин этих отрезков: $AO = 8x - 5$ и $ON = 3x + 4$.

Подставим эти выражения в полученное равенство и решим уравнение относительно x:
$8x - 5 = 2(3x + 4)$
$8x - 5 = 6x + 8$
$8x - 6x = 8 + 5$
$2x = 13$
$x = \frac{13}{2} = 6.5$

Теперь нам нужно найти длину отрезка BO. Этот отрезок является частью медианы BE. Для медианы BE также справедливо соотношение $BO : OE = 2 : 1$, или $BO = 2 \cdot OE$.
Из условия известно, что $OE = x$. Мы уже нашли значение x, поэтому:
$OE = 6.5$
Тогда длина отрезка BO равна:
$BO = 2 \cdot OE = 2 \cdot 6.5 = 13$

Ответ: 13.

б)

На рисунке 128 отрезки AM и CE являются медианами треугольника ABC (CM = MB и AE = EB). Точка O — точка их пересечения.

Используем свойство точки пересечения медиан: она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для медианы AM это свойство записывается как $AO : OM = 2 : 1$, или $AO = 2 \cdot OM$. В условии даны выражения: $AO = x - 3$ и $OM = 9 - x$.

Составим и решим уравнение:
$x - 3 = 2(9 - x)$
$x - 3 = 18 - 2x$
$x + 2x = 18 + 3$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3} = 7$

Нам необходимо найти длину отрезка (медианы) CE. Длина всей медианы равна сумме длин ее частей: $CE = CO + OE$.
Для медианы CE свойство точки пересечения медиан дает соотношение $CO : OE = 2 : 1$, то есть $CO = 2 \cdot OE$.
Из условия мы знаем, что $OE = x$. Подставим найденное значение $x=7$:
$OE = 7$
Теперь найдем длину отрезка CO:
$CO = 2 \cdot OE = 2 \cdot 7 = 14$
Наконец, найдем полную длину медианы CE:
$CE = CO + OE = 14 + 7 = 21$

Ответ: 21.