Номер 8.8, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.8. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = 17$ см, $BD = 10$ см. Середины сторон четырехугольника $ABCD$ — точки $K, L, M$ и $N$ являются вершинами четырехугольника $KLMN$. Определите вид четырехугольника $KLMN$ и найдите его периметр.

Определение вида четырехугольника KLMN

Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$ и $L$ — середина стороны $BC$, то отрезок $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина стороны $DA$ и $M$ — середина стороны $CD$, то отрезок $NM$ является средней линией этого треугольника. Следовательно:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel NM$ (так как они оба параллельны $AC$) и $KL = NM$ (так как они оба равны $\frac{1}{2}AC$).

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм. Этот результат известен как теорема Вариньона.

Ответ: четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Нахождение периметра четырехугольника KLMN

Периметр параллелограмма $KLMN$ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$.

Мы уже выяснили, что $KL = MN = \frac{1}{2}AC$.

Проведем аналогичные рассуждения для сторон $LM$ и $NK$.
Рассмотрим треугольник $BCD$. $L$ и $M$ — середины сторон $BC$ и $CD$, значит $LM$ — средняя линия. Следовательно, $LM = \frac{1}{2}BD$.
Рассмотрим треугольник $ABD$. $K$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AD$, значит $KN$ — средняя линия. Следовательно, $KN = \frac{1}{2}BD$.

Теперь можем найти периметр:
$P_{KLMN} = KL + MN + LM + KN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}BD = AC + BD$.

Периметр четырехугольника, образованного серединами сторон, равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Подставим данные из условия задачи: $AC = 17$ см, $BD = 10$ см.
$P_{KLMN} = 17 + 10 = 27$ см.

Ответ: периметр четырехугольника $KLMN$ равен 27 см.