Номер 8.2, страница 72 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.2. Найдите периметры указанных четырехугольников, пользуясь данными рисунков 125, а), б).

а) $P_{ENC} = 16$ см, $P_{ABNE}$ — ?

б) $P_{AME} = 25$ см, $P_{MBCE}$ — ?

Рис. 125

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно отметкам на рисунке, точка $E$ является серединой стороны $AC$ (поскольку $AE = EC$), а точка $N$ — серединой стороны $BC$ (поскольку $BN = NC$).

Отрезок $EN$, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В данном случае, $EN$ параллельна $AB$ и $EN = \frac{1}{2}AB$.

По условию задачи, длина средней линии $EN = 6$ см. Используя это, найдем длину стороны $AB$:

$AB = 2 \cdot EN = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Также дано, что периметр треугольника $ENC$ равен 16 см. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

$P_{\triangle ENC} = EN + NC + CE = 16$ см.

Подставим известное значение $EN = 6$ см в это уравнение:

$6 + NC + CE = 16$

Из этого уравнения находим сумму длин отрезков $NC$ и $CE$:

$NC + CE = 16 - 6 = 10$ см.

Теперь вычислим периметр четырехугольника $ABNE$. Он равен сумме длин его сторон:

$P_{ABNE} = AB + BN + NE + EA$.

Поскольку $BN = NC$ и $EA = EC$, мы можем заменить $BN$ на $NC$ и $EA$ на $EC$ в формуле периметра:

$P_{ABNE} = AB + NC + NE + EC$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать известные нам величины:

$P_{ABNE} = AB + NE + (NC + CE)$.

Подставим числовые значения: $AB = 12$ см, $NE = 6$ см и $(NC + CE) = 10$ см:

$P_{ABNE} = 12 + 6 + 10 = 28$ см.

Ответ: $P_{ABNE} = 28$ см.

б)

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно отметкам на рисунке, точка $M$ является серединой стороны $AB$ (поскольку $AM = MB$), а точка $E$ — серединой стороны $AC$ (поскольку $AE = EC$).

Следовательно, отрезок $ME$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $ME = \frac{1}{2}BC$.

По условию задачи, $ME = 9$ см. Найдем длину стороны $BC$:

$BC = 2 \cdot ME = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Также дано, что периметр треугольника $AME$ равен 25 см:

$P_{\triangle AME} = AM + ME + EA = 25$ см.

Подставим известное значение $ME = 9$ см в это уравнение:

$AM + 9 + EA = 25$

Отсюда найдем сумму длин отрезков $AM$ и $EA$:

$AM + EA = 25 - 9 = 16$ см.

Теперь вычислим периметр четырехугольника $MBCE$. Он равен сумме длин его сторон:

$P_{MBCE} = MB + BC + CE + EM$.

Поскольку $MB = AM$ и $CE = EA$, мы можем переписать формулу для периметра, сгруппировав слагаемые:

$P_{MBCE} = (MB + CE) + BC + EM = (AM + EA) + BC + EM$.

Подставим известные числовые значения: $(AM + EA) = 16$ см, $BC = 18$ см и $EM = 9$ см:

$P_{MBCE} = 16 + 18 + 9 = 43$ см.

Ответ: $P_{MBCE} = 43$ см.