Номер 7.3, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.3. Пользуясь данными рисунков 122, а), б), найдите длину PB.

а) $\angle A = 90^\circ, \angle C = 30^\circ, FE = 12 \text{ см}$

б) $\angle P = 90^\circ, \angle A = 30^\circ, BC = 24 \text{ см}$

Рис. 122

а)

Рассмотрим рисунок 122 а). Нам даны прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ ($\angle A = 90^\circ$) и углом $\angle C = 30^\circ$. Из точек $P$ и $F$, лежащих на гипотенузе $BC$, проведены перпендикуляры $PK$ и $FE$ к катету $AC$. Это означает, что $PK \parallel FE \parallel AB$.

По условию, отметки на гипотенузе $BC$ показывают, что она разделена на три равные части: $CP = PF = FB$. Обозначим длину каждого из этих отрезков через $x$.

Требуется найти длину отрезка $PB$. Согласно рисунку, $PB = PF + FB = x + x = 2x$. Чтобы найти $PB$, нам нужно найти значение $x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CFE$ (с прямым углом при вершине $E$). В этом треугольнике нам известен катет $FE = 12$ см и противолежащий этому катету угол $\angle C = 30^\circ$. Гипотенузой в этом треугольнике является отрезок $CF$.

Длина гипотенузы $CF$ равна сумме длин отрезков $CP$ и $PF$: $CF = CP + PF = x + x = 2x$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для треугольника $CFE$ это записывается как:

$\sin(\angle C) = \frac{FE}{CF}$

Подставим известные значения в формулу:

$\sin(30^\circ) = \frac{12}{CF}$

Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Следовательно:

$\frac{1}{2} = \frac{12}{CF}$

Отсюда находим длину $CF$: $CF = 12 \times 2 = 24$ см.

Так как $CF = 2x$, мы имеем $2x = 24$ см. Мы искали длину $PB$, которая равна $2x$. Таким образом, $PB = 24$ см.

Ответ: 24 см.

б)

Рассмотрим рисунок 122 б). Нам дан прямоугольный треугольник $APB$ с прямым углом при вершине $P$ ($\angle P = 90^\circ$) и острым углом $\angle A = 30^\circ$. Точки $C$ и $F$ лежат на гипотенузе $AB$.

По условию, отметки на гипотенузе $AB$ показывают, что она разделена на три равные части: $AC = CF = FB$. Обозначим длину каждого из этих отрезков через $y$.

Полная длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин ее частей: $AB = AC + CF + FB = y + y + y = 3y$.

В условии также дано, что длина отрезка $BC = 24$ см. Из рисунка видно, что отрезок $BC$ состоит из отрезков $CF$ и $FB$.

$BC = CF + FB = y + y = 2y$.

Приравнивая это выражение к данному значению, получаем уравнение:

$2y = 24$ см.

Решая уравнение, находим $y$: $y = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь мы можем вычислить полную длину гипотенузы $AB$:

$AB = 3y = 3 \times 12 = 36$ см.

Требуется найти длину катета $PB$. В прямоугольном треугольнике $APB$ катет $PB$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Или, используя определение синуса:

$\sin(\angle A) = \frac{PB}{AB}$

Выразим отсюда $PB$:

$PB = AB \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения $AB = 36$ см и $\angle A = 30^\circ$:

$PB = 36 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.