Номер 6.5, страница 70 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.5. В квадрате $ABCD$ точки $M, N, P$ и $Q$ являются серединами сторон. Докажите, что четырехугольник $MNPQ$ — квадрат.

Дано: $ABCD$ – квадрат. $M$ – середина стороны $AB$, $N$ – середина $BC$, $P$ – середина $CD$, $Q$ – середина $DA$.
Доказать: четырехугольник $MNPQ$ – квадрат.

Доказательство:

Для доказательства того, что четырехугольник $MNPQ$ является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны и все его углы прямые. Воспользуемся свойством средней линии треугольника и свойствами диагоналей квадрата.

1. Докажем, что все стороны четырехугольника MNPQ равны.
Проведем в квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$.
Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $BC$, то отрезок $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
Рассмотрим $\triangle ADC$. Так как $Q$ — середина $AD$, а $P$ — середина $CD$, то отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно:
$QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.
Из этого следует, что $MN = QP$.

Теперь рассмотрим другую пару сторон.
Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $M$ — середина $AB$, а $Q$ — середина $AD$, то $MQ$ — средняя линия этого треугольника.
$MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.
Рассмотрим $\triangle BCD$. Так как $N$ — середина $BC$, а $P$ — середина $CD$, то $NP$ — средняя линия этого треугольника.
$NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2}BD$.
Из этого следует, что $MQ = NP$.

Диагонали квадрата равны между собой: $AC = BD$.
Так как $MN = QP = \frac{1}{2}AC$ и $MQ = NP = \frac{1}{2}BD$, а $AC = BD$, то все стороны четырехугольника $MNPQ$ равны:
$MN = NP = PQ = QM$.
Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Таким образом, $MNPQ$ — ромб.

2. Докажем, что углы ромба MNPQ прямые.
Из предыдущих шагов мы знаем, что:
$MN \parallel AC$
$MQ \parallel BD$
Угол между сторонами $MN$ и $MQ$ (т.е. $\angle QMN$) равен углу между прямыми $AC$ и $BD$, которым эти стороны параллельны.
По свойству квадрата, его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$.
$AC \perp BD$, следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Значит, $\angle QMN = 90^\circ$.

Поскольку $MNPQ$ является ромбом и один из его углов прямой, то все его углы прямые. Следовательно, $MNPQ$ — квадрат.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник MNPQ является квадратом.