Номер 5.9, страница 69 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.9. В ромбе $ABCD$ прямая $AB$ образует с диагоналями углы, величины которых относятся как $13 : 17$. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По свойству ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Сторона ромба $AB$ образует с диагоналями $AC$ и $BD$ углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ соответственно. По условию задачи, их величины относятся как 13 : 17. Обозначим эти углы через коэффициент пропорциональности $x$:

$\angle OAB = 13x$

$\angle OBA = 17x$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AOB$ имеем:

$\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$

Подставим наши выражения для углов в это уравнение:

$13x + 17x = 90^\circ$

$30x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{30}$

$x = 3^\circ$

Теперь мы можем найти величины углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$:

$\angle OAB = 13 \cdot 3^\circ = 39^\circ$

$\angle OBA = 17 \cdot 3^\circ = 51^\circ$

По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, углы ромба равны удвоенным значениям найденных углов:

Угол $A$ ромба: $\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 39^\circ = 78^\circ$.

Угол $B$ ромба: $\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$.

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому $\angle C = \angle A = 78^\circ$ и $\angle D = \angle B = 102^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $78^\circ$, $102^\circ$, $78^\circ$, $102^\circ$.