Номер 5.7, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.7. a) Угол между двумя высотами, проведенными из одной вершины острого угла ромба, равен $150^\circ$. Найдите периметр ромба, если его высота равна 5 см.

б) Угол между двумя высотами, проведенными из одной вершины острого угла ромба, равен $150^\circ$. Найдите высоту ромба, если его периметр равен 48 см.

а) Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a$. Пусть угол при вершине $A$ — острый, обозначим его $\alpha$ ($\angle DAB = \alpha$). Тогда смежный с ним угол при вершине $D$ — тупой, $\angle ADC = 180^\circ - \alpha$.

Из вершины острого угла $A$ проведем две высоты: $AH$ к прямой, содержащей сторону $DC$, и $AK$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Поскольку углы $\angle ADC$ и $\angle ABC$ тупые, основания высот $H$ и $K$ будут лежать на продолжениях сторон $CD$ и $CB$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADH$. Угол $\angle ADH$ является внешним к углу $\angle ADC$ ромба, поэтому $\angle ADH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$. Тогда $\angle DAH = 90^\circ - \angle ADH = 90^\circ - \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$, угол $\angle ABK$ является внешним к углу $\angle ABC$, поэтому $\angle ABK = \alpha$. Тогда $\angle BAK = 90^\circ - \angle ABK = 90^\circ - \alpha$.

Угол между высотами $AH$ и $AK$ — это угол $\angle HAK$. Он складывается из трех углов: $\angle HAK = \angle DAH + \angle DAB + \angle BAK$ Подставим найденные значения: $\angle HAK = (90^\circ - \alpha) + \alpha + (90^\circ - \alpha) = 180^\circ - \alpha$

По условию, угол между высотами равен $150^\circ$. $180^\circ - \alpha = 150^\circ$ $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Таким образом, острый угол ромба равен $30^\circ$. Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ формулой $h = a \cdot \sin(\alpha)$. По условию, высота $h = 5$ см. $5 = a \cdot \sin(30^\circ)$ $5 = a \cdot \frac{1}{2}$ $a = 10$ см.

Периметр ромба $P$ равен $4a$. $P = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

б) Как и в пункте а), сначала найдем острый угол ромба. Угол между высотами, проведенными из вершины острого угла $\alpha$, равен $180^\circ - \alpha$. По условию, этот угол равен $150^\circ$, значит: $180^\circ - \alpha = 150^\circ$ $\alpha = 30^\circ$

Периметр ромба $P = 48$ см. Периметр вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — сторона ромба. $4a = 48$ $a = \frac{48}{4} = 12$ см.

Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ формулой $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Подставим известные значения $a=12$ см и $\alpha=30^\circ$: $h = 12 \cdot \sin(30^\circ)$ $h = 12 \cdot \frac{1}{2}$ $h = 6$ см.

Ответ: 6 см.