Номер 5.1, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.1. Используя данные рисунков 116, а)—г), докажите, что па- раллелограмм $ABCD$ — ромб.

а) A B C D O

б) A B C D $28^\circ$ $28^\circ$

в) A B C D O $26^\circ$ $64^\circ$

г) A B C D O $47^\circ$ $47^\circ$

Рис. 116

Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является ромбом, достаточно показать, что у него выполняется одно из свойств ромба (равенство смежных сторон, перпендикулярность диагоналей или то, что диагональ является биссектрисой угла).

По условию, ABCD — параллелограмм. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из рисунка 116, а) видно, что диагонали перпендикулярны, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $BO = OD$. Сторона $AO$ является общей для этих треугольников. Поскольку $AC \perp BD$, то $\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AOB = \triangle AOD$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AD$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: Доказано, что ABCD — ромб, так как его смежные стороны $AB$ и $AD$ равны.

По условию, ABCD — параллелограмм. Из рисунка 116, б) видно, что диагональ AC делит угол $\angle BAD$ на два равных угла: $\angle BAC = \angle CAD = 28^\circ$. Это означает, что AC является биссектрисой угла $\angle BAD$. Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая AC является секущей при параллельных прямых BC и AD. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$. Так как по условию $\angle CAD = 28^\circ$, то и $\angle BCA = 28^\circ$. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. В нём два угла равны: $\angle BAC = 28^\circ$ (из условия) и $\angle BCA = 28^\circ$ (как доказано выше). Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: $AB = BC$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: Доказано, что ABCD — ромб, так как его смежные стороны $AB$ и $BC$ равны.

По условию, ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из рисунка 116, в) известны углы в треугольнике $\triangle AOB$: $\angle OAB = 26^\circ$ и $\angle OBA = 64^\circ$. Рассмотрим $\triangle AOB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$ $\angle AOB = 180^\circ - (26^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны ($AC \perp BD$). Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом.

Ответ: Доказано, что ABCD — ромб, так как его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

По условию, ABCD — параллелограмм. Из рисунка 116, г) известно, что $\angle ABD = 47^\circ$ и $\angle ADB = 47^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике два угла равны: $\angle ABD = \angle ADB = 47^\circ$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: $AB = AD$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: Доказано, что ABCD — ромб, так как его смежные стороны $AB$ и $AD$ равны.