Номер 4.8, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.8. а) В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC = 20$ см, сторона $AB = 12$ см. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите периметр треугольника $ACD$.

б) В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $BD = 25$ см, сторона $BC = 20$ см, периметр прямоугольника равен 70 см. Найдите длину незамкнутой ломаной $AODCB$, где $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

а)

Периметр треугольника $ACD$ равен сумме длин его сторон: $P_{ACD} = AC + CD + AD$.

По условию задачи, нам известна длина диагонали $AC = 20$ см.

$ABCD$ – прямоугольник, следовательно, его противоположные стороны равны. Значит, сторона $CD$ равна стороне $AB$. Из условия $AB = 12$ см, получаем $CD = 12$ см.

Для нахождения стороны $AD$ воспользуемся формулой периметра прямоугольника: $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + AD)$.

Подставим известные значения: $56 = 2 \cdot (12 + AD)$.
Разделим обе части уравнения на 2:
$28 = 12 + AD$
Отсюда находим $AD$:
$AD = 28 - 12 = 16$ см.

Теперь, когда известны все стороны треугольника $ACD$, мы можем найти его периметр:
$P_{ACD} = AC + CD + AD = 20 + 12 + 16 = 48$ см.

Ответ: 48 см.

б)

Длина незамкнутой ломаной $AODCB$ равна сумме длин её звеньев: $L = AO + OD + DC + CB$.

Нам известна длина стороны $BC = 20$ см (в ломаной это звено $CB$).

Найдем длину стороны $DC$. Периметр прямоугольника $ABCD$ вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2 \cdot (BC + DC)$.
Подставим известные значения: $70 = 2 \cdot (20 + DC)$.
Разделим обе части на 2:
$35 = 20 + DC$
Отсюда находим $DC$:
$DC = 35 - 20 = 15$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, $AC = BD$. Так как по условию $BD = 25$ см, то и $AC = 25$ см.

Точка $O$ делит диагонали пополам, поэтому:
$AO = AC / 2 = 25 / 2 = 12.5$ см.
$OD = BD / 2 = 25 / 2 = 12.5$ см.

Теперь вычислим длину ломаной $AODCB$, сложив длины всех её звеньев:
$L = AO + OD + DC + CB = 12.5 + 12.5 + 15 + 20 = 25 + 15 + 20 = 60$ см.

Ответ: 60 см.