Номер 4.11, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.11. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектрисы всех четырех углов при пересечении образуют четырехугольник $PKLM$.

Найдите отношение длин отрезков $PL$ и $KM$.

б) В параллелограмме $KLMN$ биссектрисы всех четырех углов при пересечении образуют четырехугольник $ABCD$.

Найдите разность градусных мер углов $A$ и $B$.

a)

Пусть в параллелограмме $ABCD$ проведены биссектрисы углов $A, B, C, D$. Обозначим их как $l_A, l_B, l_C, l_D$ соответственно. Четырехугольник $PKLM$ образован пересечением этих биссектрис. Пусть вершины четырехугольника определены следующим образом:

• $M$ — точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_B$.
• $K$ — точка пересечения биссектрис $l_B$ и $l_C$.
• $L$ — точка пересечения биссектрис $l_C$ и $l_D$.
• $P$ — точка пересечения биссектрис $l_D$ и $l_A$.

Таким образом, образован четырехугольник $MKLP$ (или $PKLM$, так как порядок вершин не меняет сути). Найдем внутренние углы этого четырехугольника.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Поскольку $AM$ и $BM$ являются биссектрисами, то $\angle MAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle MBA = \frac{\angle B}{2}$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Найдем сумму двух углов в треугольнике $AMB$: $\angle MAB + \angle MBA = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{\angle A + \angle B}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Тогда третий угол треугольника, $\angle AMB$, равен: $\angle AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Угол $\angle AMB$ — это внутренний угол четырехугольника $PKLM$ при вершине $M$. Таким образом, $\angle PMK = 90^\circ$.

Аналогично, рассматривая треугольники $BKC$, $CLD$ и $DPA$, мы доказываем, что и остальные углы четырехугольника $PKLM$ равны $90^\circ$:

• В $\triangle BKC$: $\angle BKC = 180^\circ - (\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Это угол при вершине $K$.
• В $\triangle CLD$: $\angle CLD = 180^\circ - (\frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2}) = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Это угол при вершине $L$.
• В $\triangle DPA$: $\angle DPA = 180^\circ - (\frac{\angle D}{2} + \frac{\angle A}{2}) = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Это угол при вершине $P$.

Поскольку все внутренние углы четырехугольника $PKLM$ равны $90^\circ$, он является прямоугольником. В любом прямоугольнике диагонали равны. Диагоналями четырехугольника $PKLM$ являются отрезки $PL$ и $KM$. Следовательно, $PL = KM$. Отношение их длин равно $\frac{PL}{KM} = 1$.

Ответ: 1.

б)

В этой задаче дан параллелограмм $KLMN$, а четырехугольник $ABCD$ образован пересечением его биссектрис. Эта ситуация является обратной к той, что была в пункте а).

Пусть $l_K, l_L, l_M, l_N$ — биссектрисы углов $K, L, M, N$ параллелограмма $KLMN$. Пусть вершины четырехугольника $ABCD$ образованы их пересечениями. Например, пусть $A = l_N \cap l_K$, $B = l_K \cap l_L$, $C = l_L \cap l_M$ и $D = l_M \cap l_N$.

Мы можем использовать тот же самый метод, что и в пункте а), чтобы определить углы четырехугольника $ABCD$. Найдем величину угла $A$ четырехугольника $ABCD$. Этот угол образован биссектрисами углов $N$ и $K$. Рассмотрим треугольник $NKA$: $\angle ANK = \frac{\angle N}{2}$, $\angle NKA = \frac{\angle K}{2}$. Сумма соседних углов в параллелограмме $KLMN$ равна $180^\circ$, т.е. $\angle N + \angle K = 180^\circ$. Сумма двух углов в $\triangle NKA$: $\angle ANK + \angle NKA = \frac{\angle N}{2} + \frac{\angle K}{2} = \frac{\angle N + \angle K}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника, $\angle NAK$, равен: $\angle NAK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Этот угол является внутренним углом четырехугольника $ABCD$ при вершине $A$, так что $\angle A = 90^\circ$.

Теперь найдем величину угла $B$ четырехугольника $ABCD$. Этот угол образован биссектрисами углов $K$ и $L$. Рассмотрим треугольник $KLB$: $\angle BKL = \frac{\angle K}{2}$, $\angle KLB = \frac{\angle L}{2}$. Поскольку $\angle K + \angle L = 180^\circ$, сумма углов в $\triangle KLB$: $\angle BKL + \angle KLB = \frac{\angle K}{2} + \frac{\angle L}{2} = \frac{\angle K + \angle L}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Следовательно, третий угол треугольника, $\angle KBL$, равен: $\angle KBL = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Этот угол является внутренним углом четырехугольника $ABCD$ при вершине $B$, так что $\angle B = 90^\circ$.

Мы установили, что углы $A$ и $B$ четырехугольника $ABCD$ являются прямыми. Разность их градусных мер равна: $\angle A - \angle B = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.