Номер 4.9, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.9. a) Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, периметр треугольника $ABO$ равен 36 см, периметр треугольника $BOC$ равен 50 см. Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если $BO = 13$ см.

б) Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, периметр треугольника $ADO$ равен 54 см, периметр треугольника $DOC$ равен 48 см. Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если $OC = 15$ см.

а)

В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что отрезки, на которые точка $O$ делит диагонали, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$. По условию, $BO = 13$ см, следовательно, $AO$ и $CO$ также равны 13 см.

Периметр треугольника $ABO$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABO} = AB + BO + AO$. Из условия известно, что $P_{ABO} = 36$ см. Подставим известные значения:
$36 = AB + 13 + 13$
$36 = AB + 26$
Отсюда находим длину стороны $AB$:
$AB = 36 - 26 = 10$ см.

Аналогично, периметр треугольника $BOC$ равен $P_{BOC} = BC + BO + CO$. Из условия известно, что $P_{BOC} = 50$ см. Подставим известные значения:
$50 = BC + 13 + 13$
$50 = BC + 26$
Отсюда находим длину стороны $BC$:
$BC = 50 - 26 = 24$ см.

Теперь, зная длины двух смежных сторон прямоугольника ($AB = 10$ см и $BC = 24$ см), мы можем найти его периметр по формуле $P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC)$:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (10 + 24) = 2 \cdot 34 = 68$ см.

Ответ: 68 см.

б)

Воспользуемся свойством диагоналей прямоугольника: они равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = BO = CO = DO$. По условию, $OC = 15$ см, значит, $AO$ и $DO$ также равны 15 см.

Периметр треугольника $ADO$ определяется как $P_{ADO} = AD + DO + AO$. Из условия известно, что $P_{ADO} = 54$ см. Подставим известные значения:
$54 = AD + 15 + 15$
$54 = AD + 30$
Находим длину стороны $AD$:
$AD = 54 - 30 = 24$ см.

Периметр треугольника $DOC$ равен $P_{DOC} = DC + OC + DO$. Из условия $P_{DOC} = 48$ см. Подставим известные значения:
$48 = DC + 15 + 15$
$48 = DC + 30$
Находим длину стороны $DC$:
$DC = 48 - 30 = 18$ см.

Мы нашли длины смежных сторон прямоугольника: $AD = 24$ см и $DC = 18$ см. Вычислим периметр прямоугольника $ABCD$ по формуле $P_{ABCD} = 2 \cdot (AD + DC)$:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (24 + 18) = 2 \cdot 42 = 84$ см.

Ответ: 84 см.