Номер 4.5, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.5. а) Докажите, что параллелограмм $ABCD$, у которого $\angle CAD = \angle ADB$, является прямоугольником.

б) Докажите, что параллелограмм $ABCD$, у которого $AO = OC = OD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей, является прямоугольником.

а)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\angle CAD = \angle ADB$.
Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$.

2. Рассмотрим треугольник $AOD$. Углы $\angle CAD$ и $\angle ADB$ являются углами этого треугольника, а именно $\angle OAD$ и $\angle ODA$.

3. По условию $\angle CAD = \angle ADB$, следовательно, в треугольнике $AOD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle OAD = \angle ODA$.

4. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, треугольник $AOD$ — равнобедренный.

5. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Следовательно, $AO = OD$.

6. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

7. Из равенств $AO = OD$ (из пункта 5) и $AO=OC, BO=OD$ (из пункта 6) следует, что все четыре отрезка диагоналей равны между собой: $AO = OD = OC = BO$.

8. Длины диагоналей равны $AC = AO + OC$ и $BD = BO + OD$. Так как все четыре отрезка равны, то и сами диагонали равны: $AC = BD$.

9. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AO = OC = OD$.
Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

1. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

2. В условии задачи дано, что $AO = OC = OD$. Равенство $AO = OC$ справедливо для любого параллелограмма. Ключевым новым условием является $AO = OD$ (или $OC=OD$).

3. Из свойства $BO = OD$ и условия $AO = OD$ следует, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = BO = CO = OD$.

4. Длины диагоналей вычисляются как $AC = AO + OC$ и $BD = BO + OD$.

5. Так как $AO = OD$ и $OC = BO$, то $AC = AO + OC = OD + BO = BD$. Таким образом, диагонали параллелограмма $ABCD$ равны.

6. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.
Ответ: Что и требовалось доказать.