Номер 4.1, страница 64 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.1. Пользуясь данными рисунков 115, а)—г), докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

а) б) в) $AO = OD$

г) Рис. 115

а)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\angle B = 90^\circ$.

Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Достаточно доказать, что наличие одного прямого угла в параллелограмме влечет за собой то, что и все остальные углы тоже прямые.

1. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. Так как по условию $\angle B = 90^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

3. Также по свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны. Следовательно, $\angle C = \angle A = 90^\circ$ и $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

4. Таким образом, все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$, а значит, он является прямоугольником.

Ответ: Так как в параллелограмме $ABCD$ один из углов равен $90^\circ$, то все его углы равны $90^\circ$, и он является прямоугольником.

б)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\angle C = 90^\circ$.

Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

Доказательство аналогично пункту а).

1. По свойству параллелограмма, противолежащие углы равны. Следовательно, $\angle A = \angle C = 90^\circ$.

2. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $BC$ имеем: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.

3. Так как по условию $\angle C = 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

4. Противолежащий углу $B$ угол $D$ также равен $90^\circ$ ($\angle D = \angle B = 90^\circ$).

5. Все углы параллелограмма $ABCD$ прямые, следовательно, он является прямоугольником.

Ответ: Так как в параллелограмме $ABCD$ один из углов равен $90^\circ$, то и остальные углы прямые, следовательно, это прямоугольник.

в)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AO = OD$.

Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

1. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

2. Из условия задачи нам известно, что $AO = OD$.

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2, получаем, что все половины диагоналей равны между собой: $AO = OC = BO = OD$.

4. Если половины диагоналей равны, то равны и сами диагонали: $AC = AO + OC = 2 \cdot AO$, $BD = BO + OD = 2 \cdot OD$. Так как $AO=OD$, то $AC = BD$.

5. По признаку прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Так как диагонали параллелограмма $ABCD$ равны, он является прямоугольником.

г)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $\angle ABD = 52^\circ$, $\angle ADB = 38^\circ$.

Доказать: $ABCD$ — прямоугольник.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$, образованный двумя сторонами параллелограмма и диагональю $BD$.

2. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ABD$ это записывается как $\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$.

3. Найдем угол $\angle BAD$ (это угол $A$ параллелограмма): $\angle BAD = 180^\circ - (\angle ABD + \angle ADB)$.

4. Подставим данные из условия: $\angle BAD = 180^\circ - (52^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

5. Мы имеем параллелограмм $ABCD$, у которого один из углов ($\angle A$) равен $90^\circ$. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Так как сумма двух углов в треугольнике $\triangle ABD$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle A = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.